せん断力によるひずみエネルギーの公式と導出手順
この記事の要点
せん断力によるひずみエネルギーは、部材内のせん断応力がなす変形エネルギーの総量だ。公式はU = ∫Q²/(2GA)dx（Q:せん断力、G:せん断弾性係数、A:断面積）で、梁全体をスパン方向に積分して求める。
通常の梁設計では曲げのひずみエネルギーが支配的で、せん断エネルギーは無視できることが多い。ただしスパンが短く断面が大きい（深い）梁では無視できなくなる。仮想仕事法による変位計算の精度を上げる際に、せん断項を加える場面で使う。
通常の梁では曲げによるひずみエネルギーの方がはるかに大きく、せん断の寄与は小さい。ただし短くて太い部材ではせん断が無視できない。
【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒ 建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット
応力には軸力、曲げモーメント、せん断力の３つがあります。当然、３つの応力に対応したひずみエネルギーがあります。
今回はせん断力によるひずみエネルギーの求め方、公式の誘導について解説します。なお、本記事を読む前に下記を読むことをおすすめいたします。
ひずみエネルギーとは？公式（U=σ²/2E）の求め方とせん断との関係
また、曲げモーメントによるひずみエネルギーの公式、誘導など下記が参考になります。
曲げモーメントによるひずみエネルギーとは？公式U=M²/2EIの誘導と仮想仕事の原理への応用
せん断力によるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導
片持ち梁に外力Qを加えます。梁には曲げモーメントとせん断力が生じます。曲げモーメントによるひずみエネルギーは、下記が参考になります。
曲げモーメントによるひずみエネルギーとは？公式U=M²/2EIの誘導と仮想仕事の原理への応用
外力により部材はずれるような変形（例えば、長方形が平行四辺形になるような変形）をおこしますが、
弾性範囲内であれば、力を取り除くと変形も元の状態に戻ります。これは部材に生じるせん断力が、ズレるような変形を元に戻すからです。
これがせん断力によるひずみエネルギーです。
では、下図を見てください。
物体にせん断力を作用させたときのつり合い状態を考えましょう。また、考えやすいように微小要素を抜き出します。
さらに、せん断力は部材断面に生じていますから、任意断面に関する微小面積を考えます。
100円から読める！ネット不要！印刷しても読みやすいPDF記事はこちら⇒ いつでもどこでも読める！広告無し！建築学生が学ぶ構造力学のPDF版の学習記事
微小要素でせん断力τによって、変位γdxだけ生じていますから、微小面積dAの仕事は、以下のように
ですね。以上の式は微小要素の微小面積なので、断面全体に適用させます。すると、
となります。｢梁のせん断応力度｣でせん断応力度の式を求めました。また、せん断応力度とせん断弾性係数の関係式を、それぞれ代入します。
ですね。※せん断応力度の求め方、せん断弾性係数の詳細は下記が参考になります。
また、
としています。kは断面形状で決まる係数です。難しそうな式ではありますが、
長方形、円形、三角形など基本的な形状を使う場合は、あえて計算する必要はありません。気楽に構えてください。
さらに、部材全体の仕事は積分によって求めることができるので、
となります。軸力や曲げモーメントによるひずみエネルギーと比べてやや複雑な式ですが、係数が多いだけで計算の流れは変わりません。
混同しやすい用語
せん断によるひずみエネルギー（U_Q）
U=∫κQ2/(2GA)dx。
κは断面形状係数（矩形断面では1.2）。
せん断剛性GAが大きいほどUは小さい（変形しにくい）。
曲げによるひずみエネルギー（U_M）
U=∫M2/(2EI)dx。
通常の細長い梁ではU_M≫U_Qとなり、せん断ひずみエネルギーは省略されることが多い。
せん断剛性（GA）
せん断変形に対する抵抗。
Gはせん断弾性係数（剛性率）、Aは断面積。
曲げ剛性EIとは別物。
曲げ剛性（EI）
曲げ変形に対する抵抗。
Eはヤング係数、Iは断面二次モーメント。
せん断剛性GAよりも構造設計での活用頻度が高い。
| 応力の種類 | ひずみエネルギー公式 | 使用剛性 |
|---|---|---|
| 軸力 N | U_N = N2L / (2EA) | EA（軸剛性） |
| 曲げモーメント M | U_M = ∫M2/(2EI) dx | EI（曲げ剛性） |
| せん断力 Q | U_Q = ∫κQ2/(2GA) dx | GA（せん断剛性） |
まとめ
今回はせん断力によるひずみエネルギーについて説明しました。部材には軸力、曲げモーメント、せん断力が生じます。
まずは外力の仕事、次に軸力によるひずみエネルギーの計算方法を勉強しましょう。下記が参考になります。
ひずみエネルギーとは？公式（U=σ²/2E）の求め方とせん断との関係
【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒ 建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット
この記事の内容を○×クイズで確認する
この記事で学んだ内容は、無料の○×問題集でも確認できます。
意味を読んで終わりにせず、実際に理解できているかチェックしてみましょう。
▼用語の意味知らなくて大丈夫？▼
▼同じカテゴリの記事一覧▼
- 静定構造物と不静定構造物の違いと特徴
- 外力の仕事について
- ひずみエネルギーとは？公式（U=σ²/2E）の求め方とせん断との関係
- 曲げモーメントによるひずみエネルギーとは？公式U=M²/2EIの誘導と仮想仕事の原理への応用
- トラスの変形の求め方は？ひずみエネルギーを使う方法、変形の計算（求め方）
- マクスウェルベティの定理とは？変位の相反定理の意味と建築構造への応用
- カスチリアーノの定理とは？第一・第二定理の意味と計算例
- 最小仕事の定理とは？意味・カスチリアーノの第2定理との関係と不静定梁への適用
- 仮想仕事の原理とは｜不静定梁・不静定トラスへの適用方法を解説
- 仮想仕事とは？1分でわかる意味、たわみ、構造力学、仮想仕事の原理との関係
▼カテゴリ一覧▼
▼他の勉強がしたい方はこちら▼
わかる1級建築士の計算問題解説書
わかる2級建築士の計算問題解説書！
【30%OFF】一級建築士対策も◎！構造がわかるお得な用語集
プロフィール
- 略歴▼
- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
- 「わかる構造力学(改訂版)」
- 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に向けて
- 「構造力学、構造計算、鋼構造、鉄筋コンクリート造、基礎構造、土質力学、水理学、材料力学、数学の基礎」を分かりやすくお伝えします。
- 当サイトの目的▼
- 建築学生が学ぶ「構造力学」の目的
- とりあえず10記事▼
- 初めましての方に10記事用意しました
- おすすめ書籍紹介▼
- 構造力学・建築構造のおすすめ本｜現役設計者が読んで良かった書籍を紹介
建築の本、紹介します。▼
同じカテゴリの記事一覧
- 静定構造物と不静定構造物の違いと特徴
- 外力の仕事について
- ひずみエネルギーとは？公式（U=σ²/2E）の求め方とせん断との関係
- 曲げモーメントによるひずみエネルギーとは？公式U=M²/2EIの誘導と仮想仕事の原理への応用
- トラスの変形の求め方は？ひずみエネルギーを使う方法、変形の計算（求め方）
- マクスウェルベティの定理とは？変位の相反定理の意味と建築構造への応用
- カスチリアーノの定理とは？第一・第二定理の意味と計算例
- 最小仕事の定理とは？意味・カスチリアーノの第2定理との関係と不静定梁への適用
- 仮想仕事の原理とは｜不静定梁・不静定トラスへの適用方法を解説
- 仮想仕事とは？1分でわかる意味、たわみ、構造力学、仮想仕事の原理との関係
- HOME > 構造力学の応用 > せん断力によるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導
- 1級の過去問(計算)解説
- わかる建築構造の用語集・図解集
- 1頁10円！PDF版の学習記事
