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せん断力によるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導

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応力には軸力、曲げモーメント、せん断力の3つがあります。当然、3つの応力に対応したひずみエネルギーがあります。今回はせん断力によるひずみエネルギーの求め方、公式の誘導について解説します。なお、本記事を読む前に下記を読むことをおすすめいたします。

外力の仕事について

ひずみエネルギーとは?1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係


また、曲げモーメントによるひずみエネルギーの公式、誘導など下記が参考になります。

曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導

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せん断力によるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導

片持ち梁に外力Qを加えます。梁には曲げモーメントとせん断力が生じます。曲げモーメントによるひずみエネルギーは、下記が参考になります。

曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導


外力により部材はずれるような変形(例えば、長方形が平行四辺形になるような変形)をおこしますが、弾性範囲内であれば、力を取り除くと変形も元の状態に戻ります。これは部材に生じるせん断力が、ズレるような変形を元に戻すからです。これがせん断力によるひずみエネルギーです。


では、下図を見てください。



物体に曲げモーメントを作用させたときのつり合い状態を考えましょう。また、考えやすいように微小要素を抜き出します。



さらに、せん断力は部材断面に生じていますから、任意断面に関する微小面積を考えます。


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微小要素でせん断力τによって、変位γdxだけ生じていますから、微小面積dAの仕事は、以下のように



ですね。以上の式は微小要素の微小面積なので、断面全体に適用させます。すると、



となります。「梁のせん断応力度」でせん断応力度の式を求めました。また、せん断応力度とせん断弾性係数の関係式を、それぞれ代入します。



ですね。※せん断応力度の求め方、せん断弾性係数の詳細は下記が参考になります。

梁のせん断応力度

横弾性係数の基礎知識と、縦弾性係数との関係


また、


としています。kは断面形状で決まる係数です。難しそうな式ではありますが、長方形、円形、三角形など基本的な形状を使う場合は、あえて計算する必要はありません。気楽に構えてください。


さらに、部材全体の仕事は積分によって求めることができるので、



となります。軸力や曲げモーメントによるひずみエネルギーと比べてやや複雑な式ですが、係数が多いだけで計算の流れは変わりません。

まとめ

今回はせん断力によるひずみエネルギーについて説明しました。部材には軸力、曲げモーメント、せん断力が生じます。まずは外力の仕事、次に軸力によるひずみエネルギーの計算方法を勉強しましょう。下記が参考になります。

外力の仕事について

ひずみエネルギーとは?1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係

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