1. HOME > 構造力学の応用 > 外力の仕事とは？1分でわかる意味、公式と求め方、内力の仕事、ひずみエネルギー

外力の仕事とは？1分でわかる意味、公式と求め方、内力の仕事、ひずみエネルギー

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！大好評の用語集と図解集のセット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット(※既に26人にお申込みいただきました！）

外力による仕事とは、物体に外力Pが作用し距離δだけ移動するときの「P×δ」のことです。外力による仕事の意味はこれだけです。さて部材に外力が作用するとき「内力（応力）」が生じます。応力は、外力に抵抗し外力による変形を元に戻そうと働きます。これを内力の仕事や「ひずみエネルギー」といいます。

今回は外力の仕事の意味、公式と求め方、内力の仕事、ひずみエネルギーについて説明します。内力の仕事（ひずみエネルギー）については下記が参考になります。

内力とは？1分でわかる意味、外力、応力との違い、求め方、単位

ひずみエネルギーとは？1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係

100円から読める！ネット不要！印刷しても読みやすいPDF記事はこちら⇒　いつでもどこでも読める！広告無し！建築学生が学ぶ構造力学のPDF版の学習記事

外力の仕事とは？

外力の仕事とは、物体に外力Pが作用し距離δだけ移動するときの「P×δ」をいいます。外力と変位の掛け算が仕事です。外力の仕事の意味はこれだけです。簡単ですよね。

下図をみてください。物体がPという外力を受けて、AからA'に移動しました。

このとき、Pという外力はA点からA'点に向かって徐々に増えているのではなく、変位0のA点からPという外力を加えています。「当たり前じゃないか」と思うかもしれませんが、後々、異なる考え方を紹介しますので分けて考えます。

こういった外力の加え方と変形の関係を下図に示します。

縦軸が外力、横軸が変位です。仕事＝Pδなので、仕事は四角形の面積だと分かります。

さて、なぜ「外力の仕事なんて考える必要があるのか？」と思うかもしれません。静定構造物は外力＝反力、外力＝応力という考え方（力のつり合い）で問題が解けました。

ところが不静定構造物は不静定力があり、鉛直・水平・回転方向の力のつり合い式だけでは問題が解けません。そのため「エネルギーのつり合い」などを考えて問題を解きます。不静定構造物の解き方の１つに「仮想仕事の原理（かそうしごとのげんり）」という方法があります。

この考え方を理解するためには、まずは「外力の仕事」を理解する必要があるのです。

仮想仕事の原理

外力の仕事の公式と求め方

外力の仕事を少し発展させて考えましょう。前述の説明では、荷重を作用させるとき変位0の状態から急に全荷重を加えました。このような外力をステップ外力といいます。※ステップ外力は部材が振動を起こすような外力です。下記をご覧ください。

ステップ外力の理論解を求める

しかし、実際には急に全外力Pを加えてδ変形するのではなく「外力は0⇒Pに向かって徐々に増加し、外力と変位はつり合いながら徐々に増える関係」にあります。

「はかり」をイメージすると良いでしょう。はかりの上に物を載せると上の皿が沈んで0の目盛りが増えます。10kgの物をはかりの上にのせると、目盛りは急に10kgを示すわけでは無く、「0から順に増加し10kgに増えます（0⇒1⇒2⇒3⇒…）」

あるいは下図のようなバネばかりに重り10kgをつけると、バネの変形は徐々に増え10kgに対応する変形に達します。

これらと同じことです。外力と変形の関係は徐々に、部材がつりあいながら生じます。下図をみてください。梁に外力Pを作用させます。

このとき、Pとδの関係を下式に示します。

P'＝P×ｘ/δ

P'は梁の変形に対応して変化する外力の変数、Pは外力、δは変形量、ｘはP'に対応して変化する変形量です。

少し難しい式になったと感じるかもしれませんが簡単です。要するに前述した0⇒Pに増える時0⇒δとなる関係を表しています。

変数ｘに0、δ/2、δを代入すると、

ｘ＝0　⇒　P'＝P×0/δ＝0

ｘ＝δ/2　⇒　P'＝P×δ/2/δ＝P/2

ｘ＝δ　⇒　P'＝P×δ/δ＝P

となります。これをグラフに表すと下図のようになるでしょう。

P'＝Pのとき、ｘ＝δです。仕事は外力と変形のグラフの面積で算定できました。今回は三角形の面積を求めれば良いので、

W=Pδ/2

となります。これが外力の仕事の考え方です。思っている以上に簡単だったと思います。この考え方はモーメント荷重にも使えます。モーメント荷重Mが作用するとき、梁にはたわみ角θが生じます。この仕事Wは

W=Mθ/2

です。

また、せん断力の作用する場合は、

で表すことができます（※τはせん断力、ｒはせん断変形）。

以上、外力の仕事を教科書的に求めますと、下図のような微小たわみdxを0～δまで積分します。

当然、結果は同じでPδ/2です。

内力の仕事とひずみエネルギー

部材に外力が作用するとき部材は変形します。変形するのですが、部材は「弾性」という性質を持っており、外力を取り除くと元の状態に戻ります。

仕事に着目すれば「内力による仕事が、元の状態に戻した」とも言えます。外力Pによる変形量をδとするとき、内力もPです。内力により元の状態に戻るので、内力により戻った変形量もδです。

つまり

外力による仕事＝内力による仕事

と言えます。また外力が作用するとき、部材には「元の状態に戻そうとするエネルギーがたまっている」といえます。よって、内力による仕事を「ひずみエネルギー」ともいいます。

ところで内力（応力）の種類は３つありました。軸力・曲げ・せん断ですね。つまり、内力による仕事（ひずみエネルギー）も、軸力・曲げモーメント・せん断力による３種類があります。各ひずみエネルギーの詳細は下記が参考になります。

ひずみエネルギーとは？1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係

曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導

せん断力によるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導

まとめ

今回は外力の仕事について説明しました。意味が理解頂けたと思います。仕事やひずみエネルギーの理解は、不静定構造物を解くための第一歩です。構造力学の基礎が理解できているなら、そんなに難しくないはずです。次は｢ひずみエネルギー｣について勉強しましょう。下記が参考になります。

ひずみエネルギーとは？1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係

曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導

せん断力によるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！大好評の用語集と図解集のセット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット(※既に26人にお申込みいただきました！）

【有料メルマガの初回資料が今だけ無料！】1日約13円で情報をアップデート！

有料メルマガを無料で見てみませんか？⇒　忙しい社会人、学生のためのビルディング・アップデート

更新情報

• 当サイトでは、ほぼ毎日、記事更新・追加を行っております。


• 更新情報として、先月分の新着記事を一覧表示しております。下記をご確認ください。


• 新着記事一覧

プロフィール

• 略歴▼
• 名前　ハナダユキヒロ/MITUME lab主宰.（筆者のコラムはこちら）
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


• 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。


• 自己紹介▼
• 建築学生が学ぶ「構造力学」とは？


• とりあえず10記事▼
• 初めましての方に10記事用意しました


• おすすめ書籍紹介▼
• ハナダユキヒロが建築関連書籍の良書を選びました

建築の本、紹介します。▼

人気の記事ベスト３

• 一級建築士が転職すべき1つの理由と、転職後の年収を調べる方法
• 断面係数とは
• 等分布荷重とは？集中荷重との違いや使い方について

同じカテゴリの記事一覧

• 静定構造物と不静定構造物の違いと特徴
• ひずみエネルギーとは？1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係
• せん断力によるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導
• 曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導
• トラスの変形の求め方は？ひずみエネルギーを使う方法、変形の計算（求め方）
• マクスウェルベティの定理
• カスチリアーノの定理
• 最小仕事の定理
• 仮想仕事の原理
• 仮想仕事とは？1分でわかる意味、たわみ、構造力学、仮想仕事の原理との関係