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外力の仕事とは？1分でわかる意味、公式と求め方、内力の仕事、ひずみエネルギー

この記事の要点

外力の仕事Wは「力×その力の方向への変位」で求まる。W=(1/2)×P×δ（荷重が徐々に増加する場合）。

外力の仕事はひずみエネルギーUと等しくなり（W=U）、これが仮想仕事の原理やカスチリアーノの定理の基礎となる。

この記事では、外力の仕事とは何か、公式はどう求めるのか、ひずみエネルギーとどう関係するのか、内力の仕事とどう違うのかを整理します。

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外力による仕事とは、物体に外力Pが作用し距離δだけ移動するときの「P×δ」のことです。

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外力の仕事とは？

外力による仕事の意味はこれだけです。さて部材に外力が作用するとき「内力（応力）」が生じます。

応力は、外力に抵抗し外力による変形を元に戻そうと働きます。これを内力の仕事や「ひずみエネルギー」といいます。

今回は外力の仕事の意味、公式と求め方、内力の仕事、ひずみエネルギーについて説明します。内力の仕事（ひずみエネルギー）については下記が参考になります。

内力とは？外力との違い・応力・求め方

ひずみエネルギーとは？公式（U=σ²/2E）の求め方とせん断との関係

外力の仕事とは？

外力の仕事とは、物体に外力Pが作用し距離δだけ移動するときの「P×δ」をいいます。

外力と変位の掛け算が仕事です。外力の仕事の意味はこれだけです。簡単ですよね。

下図をみてください。物体がPという外力を受けて、AからA'に移動しました。

図　外力の仕事

このとき、Pという外力はA点からA'点に向かって徐々に増えているのではなく、変位0のA点からPという外力を加えています。

「当たり前じゃないか」と思うかもしれませんが、後々、異なる考え方を紹介しますので分けて考えます。

こういった外力の加え方と変形の関係を下図に示します。

図　外力の仕事とエネルギー

縦軸が外力、横軸が変位です。仕事＝Pδなので、仕事は四角形の面積だと分かります。

さて、なぜ「外力の仕事なんて考える必要があるのか？」と思うかもしれません。静定構造物は外力＝反力、外力＝応力という考え方（力のつり合い）で問題が解けました。

ところが不静定構造物は不静定力があり、鉛直・水平・回転方向の力のつり合い式だけでは問題が解けません。

そのため「エネルギーのつり合い」などを考えて問題を解きます。

不静定構造物の解き方の１つに「仮想仕事の原理（かそうしごとのげんり）」という方法があります。

この考え方を理解するためには、まずは「外力の仕事」を理解する必要があるのです。

仮想仕事の原理とは｜不静定梁・不静定トラスへの適用方法を解説

外力の仕事の公式と求め方

外力の仕事を少し発展させて考えましょう。

前述の説明では、荷重を作用させるとき変位0の状態から急に全荷重を加えました。このような外力をステップ外力といいます。

※ステップ外力は部材が振動を起こすような外力です。下記をご覧ください。

ステップ外力の理論解を求める

しかし、実際には急に全外力Pを加えてδ変形するのではなく「外力は0⇒Pに向かって徐々に増加し、外力と変位はつり合いながら徐々に増える関係」にあります。

「はかり」をイメージすると良いでしょう。はかりの上に物を載せると上の皿が沈んで0の目盛りが増えます。

10kgの物をはかりの上にのせると、目盛りは急に10kgを示すわけでは無く、「0から順に増加し10kgに増えます（0⇒1⇒2⇒3⇒…）」

あるいは下図のようなバネばかりに重り10kgをつけると、バネの変形は徐々に増え10kgに対応する変形に達します。

これらと同じことです。外力と変形の関係は徐々に、部材がつりあいながら生じます。下図をみてください。梁に外力Pを作用させます。

図　外力の仕事と公式、求め方

このとき、Pとδの関係を下式に示します。

P'＝P×ｘ/δ

P'は梁の変形に対応して変化する外力の変数、Pは外力、δは変形量、ｘはP'に対応して変化する変形量です。

少し難しい式になったと感じるかもしれませんが簡単です。要するに前述した0⇒Pに増える時0⇒δとなる関係を表しています。

変数ｘに0、δ/2、δを代入すると、

ｘ＝0　⇒　P'＝P×0/δ＝0

ｘ＝δ/2　⇒　P'＝P×δ/2/δ＝P/2

ｘ＝δ　⇒　P'＝P×δ/δ＝P

となります。これをグラフに表すと下図のようになるでしょう。

図　外力の仕事と公式

P'＝Pのとき、ｘ＝δです。仕事は外力と変形のグラフの面積で算定できました。今回は三角形の面積を求めれば良いので、

W=Pδ/2

となります。これが外力の仕事の考え方です。思っている以上に簡単だったと思います。

この考え方はモーメント荷重にも使えます。モーメント荷重Mが作用するとき、梁にはたわみ角θが生じます。この仕事Wは

W=Mθ/2

です。

図　モーメントの外力と仕事

また、せん断力の作用する場合は、

で表すことができます（※τはせん断力、ｒはせん断変形）。

以上、外力の仕事を教科書的に求めますと、下図のような微小たわみdxを0～δまで積分します。

当然、結果は同じでPδ/2です。

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内力の仕事とひずみエネルギー

部材に外力が作用するとき部材は変形します。変形するのですが、部材は「弾性」という性質を持っており、外力を取り除くと元の状態に戻ります。

仕事に着目すれば「内力による仕事が、元の状態に戻した」とも言えます。

外力Pによる変形量をδとするとき、内力もPです。内力により元の状態に戻るので、内力により戻った変形量もδです。

つまり

外力による仕事＝内力による仕事

と言えます。また外力が作用するとき、部材には「元の状態に戻そうとするエネルギーがたまっている」といえます。

よって、内力による仕事を「ひずみエネルギー」ともいいます。

ところで内力（応力）の種類は３つありました。軸力・曲げ・せん断ですね。

つまり、内力による仕事（ひずみエネルギー）も、軸力・曲げモーメント・せん断力による３種類があります。

各ひずみエネルギーの詳細は下記が参考になります。

ひずみエネルギーとは？公式（U=σ²/2E）の求め方とせん断との関係

曲げモーメントによるひずみエネルギーとは？公式U=M²/2EIの誘導と仮想仕事の原理への応用

せん断力によるひずみエネルギーの公式と導出手順

混同しやすい用語

外力の仕事（W）

外部からの力が構造物を変形させるときにする仕事。

W=(1/2)Pδ（荷重が0から徐々に増加する場合）。

外力が一定の場合はW=Pδ。

内力の仕事（ひずみエネルギー U）

構造物の内部に蓄えられる弾性エネルギー。

外力の仕事と等しい（W=U）。

U=∫M2/(2EI)dx（曲げの場合）。

仮想仕事（δW）

仮想変位または仮想力に対して計算される仮想的な仕事量。

仮想仕事の原理では、外力の仮想仕事＝内力の仮想仕事が成立する。

実際の仕事と仮想仕事の違い

実際の仕事は実際の力と実際の変位の積。

仮想仕事は仮想（仮定した）力または変位を用いる。

試験では両者の区別を問われることがある。

外力による仕事とひずみエネルギーの比較
概念	定義	公式
外力による仕事	外力Pが距離δだけ移動するときの仕事	W = P×δ（一般）／W = Pδ/2（弾性変形）
ひずみエネルギー	外力により部材内部に蓄えられるエネルギー	U = ∫σε/2 dV
等価関係（エネルギー保存）	外力の仕事＝ひずみエネルギー	W = U