最小仕事の定理

この記事の要点

最小仕事の定理（カスチリアーノの第1定理）は「不静定構造物の余剰反力Rは、ひずみエネルギーUをRで偏微分するとゼロになる値をとる（∂U/∂R=0）」という定理。

余剰反力を変数とし、∂U/∂R=0の条件（ひずみエネルギーが最小となる条件）から不静定力を決定できる。力法（余剰反力法）での不静定解析に使う。

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カスチリアーノの第一定理は以下のように示され、

となります。この式は、構造物全体の内部仕事をある点での外力で偏微分したとき、その外力が作用した点における方向の変位を表します。

さて、不静定構造物の不静定力を全て取り除くと、その構造物は静定構造物となります。さらに、歪エネルギーを不静定力から考えると、

のように表すことができます。よって、不静定力による変位が生じます。

しかし、はじめに考えた不静定構造物が不静定力の作用点で拘束されているためには、変位が0にならなければなりません。

よって、

となります。この式は、歪エネルギーが最小となるものは解であることを示しています。これを最小仕事の原理、もしくはカスチリアーノの第２定理と呼びます。

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・演習問題

例題として不静定梁の反力を求めてみましょう。

不静定次数が1なので、釣り合い式だけでは解くことができません。この不静定梁を最小仕事の原理を用いて求めてみます。

ローラー支持を取り除けば静定構造物になるので、この垂直反力を不静定力Xとして、x点の曲げモーメントを求めます。

となります。最小仕事の定理より、

梁のひずみエネルギーは、

なので、この式よりたわみを計算すると、

以上より、先ほど求めた曲げモーメントを代入して、最小仕事の定理を適用させます。

よって、不静定力Xは

です。不静定力が求められたので、あとの反力も計算できます。

混同しやすい用語

最小仕事の定理（∂U/∂R=0）

不静定構造物では余剰反力Rはひずみエネルギーを最小にするよう決まる。∂U/∂R=0を解くことで余剰反力が求まる。カスチリアーノの第1定理ともいう。

カスチリアーノの第2定理（δ=∂U/∂P）

変位δを求める定理。荷重Pでひずみエネルギーを偏微分すると対応する変位が求まる。最小仕事の定理とは目的（反力決定 vs 変位算定）が異なる。

余剰反力（不静定力）

不静定次数分の未知反力。最小仕事の定理では余剰反力Rを変数とし、∂U/∂R=0という条件で決定する。

適合条件（変位条件）

「支点での変位はゼロ」等の条件。最小仕事の定理の∂U/∂R=0はこの適合条件と等価。仮想仕事法での「変位＝0」の条件と同じ意味。

試験での問われ方｜管理人の一言

最小仕事の定理は不静定構造を力法で解く際の強力ツール。∂U/∂R=0を解けば余剰反力が決まる。カスチリアーノの第2定理（変位算定）と混同しないよう「第1＝反力決定、第2＝変位算定」と整理して覚えよう。

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