最小仕事の定理とは？意味・カスチリアーノの第2定理との関係と不静定梁への適用
この記事の要点
不静定梁を解くとき、最小仕事の定理（カスチリアーノの第2定理）を使うと余剰反力を偏微分で求められる。力法の一種で、たわみ計算にも応用できる。
定理の意味・適用条件と、具体的な計算手順を確認する。
余剰反力を変数とし、∂U/∂R=0の条件（ひずみエネルギーが最小となる条件）から不静定力を決定できる。力法（余剰反力法）での不静定解析に使う。
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カスチリアーノの第一定理は以下のように示され、
となります。この式は、構造物全体の内部仕事をある点での外力で偏微分したとき、その外力が作用した点における方向の変位を表します。
さて、不静定構造物の不静定力を全て取り除くと、その構造物は静定構造物となります。さらに、歪エネルギーを不静定力から考えると、
のように表すことができます。よって、不静定力による変位が生じます。
しかし、はじめに考えた不静定構造物が不静定力の作用点で拘束されているためには、変位が0にならなければなりません。
よって、
となります。この式は、歪エネルギーが最小となるものは解であることを示しています。これを最小仕事の原理、もしくはカスチリアーノの第２定理と呼びます。
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・演習問題
例題として不静定梁の反力を求めてみましょう。
不静定次数が1なので、釣り合い式だけでは解くことができません。この不静定梁を最小仕事の原理を用いて求めてみます。
ローラー支持を取り除けば静定構造物になるので、この垂直反力を不静定力Xとして、x点の曲げモーメントを求めます。
となります。最小仕事の定理より、
梁のひずみエネルギーは、
なので、この式よりたわみを計算すると、
以上より、先ほど求めた曲げモーメントを代入して、最小仕事の定理を適用させます。
よって、不静定力Xは
です。不静定力が求められたので、あとの反力も計算できます。
混同しやすい用語
最小仕事の定理（∂U/∂R=0）
不静定構造物では余剰反力Rはひずみエネルギーを最小にするよう決まる。
∂U/∂R=0を解くことで余剰反力が求まる。
カスチリアーノの第1定理ともいう。
カスチリアーノの第2定理（δ=∂U/∂P）
変位δを求める定理。
荷重Pでひずみエネルギーを偏微分すると対応する変位が求まる。
最小仕事の定理とは目的（反力決定 vs 変位算定）が異なる。
余剰反力（不静定力）
不静定次数分の未知反力。
最小仕事の定理では余剰反力Rを変数とし、∂U/∂R=0という条件で決定する。
適合条件（変位条件）
「支点での変位はゼロ」等の条件。
最小仕事の定理の∂U/∂R=0はこの適合条件と等価。
仮想仕事法での「変位＝0」の条件と同じ意味。
一問一答
Q. 最小仕事の定理（カスチリアーノの第1定理）の式を示せ。
A. ∂U/∂R = 0（Uはひずみエネルギー、Rは余剰反力）。
不静定構造の不静定次数分だけこの条件式が立てられる。
Q. 不静定1次構造を最小仕事の定理で解くとき、何本の方程式が必要か？
A. 1本。
不静定次数と同じ数の ∂U/∂Ri=0 を連立して余剰反力を求める。
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理解度チェック
最小仕事の定理は別名で何という？
カスチリアーノの第2定理です（力法の一種）。
最小仕事の定理で不静定力（余剰反力）を求める条件は？
∂U/∂R＝0（ひずみエネルギーが最小となる条件）から決定します。
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プロフィール
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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- 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に向けて
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