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ひずみエネルギーとは?1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係

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ひずみエネルギーとは、外力により部材内部に蓄えられるエネルギーです。内力の仕事ともいいます。外力による生じる変形を、元に戻そうとするエネルギーです。外力の仕事=ひずみエネルギー(内力の仕事)となります。


今回はひずみエネルギーの意味、公式の求め方、せん断力との関係について説明します。外力の仕事については下記が参考になります。

外力の仕事について


なお、今回は軸力によるひずみエネルギーを解説します。曲げモーメント、せん断力によるひずみエネルギーは下記をご覧ください。

曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導

せん断力によるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導

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ひずみエネルギーとは?

ひずみエネルギーとは、外力により部材内部に蓄えられるエネルギーです。内力の仕事ともいいます。下図をみてください。


図 ひずみエネルギー


梁に外力が作用し変形しました。弾性状態では、外力を取り除くと変形は無くなり、元の状態に戻ります。部材には外力と釣り合う「内力(応力)」が生じています。見方を変えればこの「内力」が、元の状態に戻しているといえます。


内力P、元の状態に戻るときの変形量をδだとすると、内力による仕事(ひずみエネルギー)=Pδ/2です。これは外力による仕事と一致します。つまり


外力の仕事=ひずみエネルギー


です。※外力の仕事については下記が参考になります。

外力の仕事について


さて、ひずみエネルギーは内力による仕事でした。部材に生じる内力(応力)には


軸力

曲げモーメント

せん断力


の3つがあります。よって、ひずみエネルギーも上記の3種類の内力に対して求めます。つまり、ある部材の全ひずみエネルギーWは下式で算定できます。


ひずみエネルギーW=WN+WM+WQ


WN+は軸力によるひずみエネルギー、WM+は曲げモーメントによるひずみエネルギー、WQはせん断力によるひずみモーメントです。

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ひずみエネルギーの公式の求め方

今回は軸力によるひずみエネルギーの公式を求めます。


部材に軸力が生じる時、部材は引張(圧縮)で伸び(縮み)という変形をおこします。しかし、弾性範囲内であれば、力を取り除くと変形も元の状態に戻ります。


図 ひずみエネルギー


前述したように、外力が作用するとき物体には外部エネルギーと変形を元に戻す同等の内部エネルギーが蓄えられています。


外力Nが作用するとき、部材にも軸力Nが生じます。また上図の微小範囲dxを取り出して、つり合い状態を考えましょう。



上図の微小要素に着目すると外力NによってΔxだけ伸びる(変形する)はずです。弾性状態において、NとΔxの関係はフックの法則に従いますから



となります。kは剛性です。さらに、kを部材の断面積、ヤング係数、長さなどで表せます。※詳細は下記をご覧ください。

剛性とは?本当に分かる剛性の計算、単位、強度との違い、バネ定数


よって、



です。


さて、外力による仕事の計算式を思い出してください。Pδ/2ですね。つまり、微小要素に生じる外力の仕事dWは、



です。


外力の仕事とひずみエネルギーは等しいです。また上式のΔxに代入すれば、



となります。上式が微小要素に生じるひずみエネルギーです。当然、ひずみエネルギーは部材全体に蓄えられます。微小要素を積分すれば、全ひずみエネルギーが算定できます。



以上の式で、部材一本当たりのひずみエネルギーは、



です。梁や柱部材は、軸力の他に曲げモーメント、せん断力が生じます。よって、上式だけでは使えません。


しかし、トラス構造には部材に軸力のみ作用します。よって、トラス全体のひずみエネルギーは、



です。例題として、トラスの変位をひずみエネルギーを用いて解きましょう。下記が参考になります。

トラスの変形の求め方は?ひずみエネルギーを使う方法、変形の計算(求め方)

ひずみエネルギーとせん断力の関係

せん断力によるひずみエネルギーの求め方は、下記が参考になります。

せん断力によるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導


必ず「外力の仕事」と今回の記事を読んでから勉強しましょう。

外力の仕事について

まとめ

今回はひずみエネルギーについて説明しました。意味が理解頂けたと思います。ひずみエネルギーは、外力が作用するとき部材の内部に蓄えられるエネルギーです。部材の変形を元に戻すようなエネルギーです。外力による仕事とひずみエネルギーは釣り合います。仮想仕事の原理を理解するために必須の概念です。是非理解しましょう。下記も参考になります。

外力の仕事について

曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導

せん断力によるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導

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