マクスウェルベティの定理とは？変位の相反定理の意味と建築構造への応用

この記事の要点

マクスウェルベティの定理（相反定理）は、「点Aに力を加えたときのB点変位」と「点Bに力を加えたときのA点変位」が等しいという定理です。シンプルな主張ですが、不静定構造の解析で強力な武器になります。

この記事では、マクスウェルベティの定理の意味・証明と、実際の構造解析への応用を解説します。

弾性構造物の柔軟性マトリクスが対称行列であることを意味する。カスチリアーノの定理や仮想仕事の原理と並ぶ重要定理。

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変形と仕事の関係を表す定理として、マクスウェル・ベティの定理を勉強しましょう。下図を見てください。

さて、任意の点1及び2についての変位と仕事の関係について考えます。ここで、変位δを

とし、i：任意の点（1or2）、j：荷重の番号（1or2）です。

まず、以上の梁に作用している仕事を考えます。例えば、二つの荷重が梁に同時に作用した場合、その仕事は、

ですね。

次は、作用させる荷重に順番をつけてみます。初めに荷重P1を作用させ、そのあとにP2を作用させると、どうなるのでしょうか？

よって、P2を作用させた後での仕事は

です。

は、荷重P1が変化していない状態で、変形がおきているのでこの仕事量となりますね。また、同様に、先ほどと逆の手順で荷重を作用させます。すると、

ですね。

さて、以上の計算で仕事は順序を変えても無関係なので、

となります。よって、

一般的な式に変換すると、

で、この式をベティの定理と呼びます。さらに、ベティの定理においてP1、P２を１としたとき、

です。この式を、マクスウェル・ベティの定理と呼びます。さらに、単位の力による変形をたわみ係数αと呼び、次式で表します。

マクスウェルベティの定理の具体例

単純梁を用いて相反定理を確認してみましょう。

マクスウェルベティの定理を整理した表を示します。

条件	ケース①	ケース②
荷重作用点	点A（スパンの1/3点）に PA	点B（スパンの2/3点）に PB
変位観測点	点Bの変位 δBA を測定	点Aの変位 δAB を測定
相反定理の関係	PA × δBA = PB × δAB（弾性体で成立）

例：PA=PB=1kN のとき、δBA = δAB となります（柔軟性マトリクスの対称性）。

カスチリアーノ・ベティ・仮想仕事の原理の比較

マクスウェルベティの定理を整理した表を示します。

定理・原理	内容	主な用途
ベティの相反定理	PA×δBA = PB×δAB	影響線の計算
カスチリアーノの定理	∂U/∂Pi = δi	不静定構造の変位
仮想仕事の原理	外仕事 = 内仮想仕事	エネルギー法全般

よくある誤解

×誤り：ベティの定理は δBA = δAB という意味
○正解：等しいのは「PA×δBA = PB×δAB」です。PA≠PBの場合は変位の大きさが異なります
×誤り：この定理は非線形材料にも適用できる
○正解：線形弾性体（応力とひずみが比例する範囲）のみ成立します

一問一答

Q1：マクスウェルベティの定理が成立する条件は？

A1：線形弾性体であること（フックの法則が成立する範囲内）が前提条件です

Q2：PA=2kN が点Aに作用したとき点Bの変位が5mm だった。PB=4kN が点Bに作用したとき点Aの変位は？

A2：PA×δBA = PB×δAB より 2×5 = 4×δAB ∴ δAB = 2.5mm

混同しやすい用語

マクスウェルの相反定理

点AにPを加えたときの点Bの変位＝点BにPを加えたときの点Aの変位（同じ大きさの荷重の場合）。

柔軟性マトリクスの対称性を示す。

ベティの相反定理

荷重系1の外力が変形系2に対してする仕事＝荷重系2の外力が変形系1に対してする仕事。

マクスウェルの定理の一般化。

異なる大きさの荷重でも成立する。

柔軟性係数（δij）

j点に単位荷重を加えたときのi点の変位。

マクスウェルの定理よりδij=δji（柔軟性マトリクスは対称）。

不静定解析の力法で使う。

剛性係数（kij）

j点に単位変位を与えたときのi点の反力。

剛性マトリクスの要素。

剛性マトリクスも対称行列（kij=kji）となる。

試験での問われ方｜管理人の一言

マクスウェルベティの定理は「異なる2つの荷重系の間の相反関係」を述べる定理。

一級建築士試験の応用問題で登場することがある。

「変位と荷重の順序を入れ替えても仕事が等しい」という本質を理解してから公式を覚えよう。

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この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。

2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。

著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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