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マクスウェルベティの定理

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変形と仕事の関係を表す定理として、マクスウェル・ベティの定理を勉強しましょう。下図を見てください。

さて、任意の点1及び2についての変位と仕事の関係について考えます。ここで、変位δを

とし、i:任意の点(1or2)、j:荷重の番号(1or2)です。

まず、以上の梁に作用している仕事を考えます。例えば、二つの荷重が梁に同時に作用した場合、その仕事は、

ですね。


次は、作用させる荷重に順番をつけてみます。初めに荷重P1を作用させ、そのあとにP2を作用させると、どうなるのでしょうか?

よって、P2を作用させた後での仕事は

です。

は、荷重P1が変化していない状態で、変形がおきているのでこの仕事量となりますね。また、同様に、先ほどと逆の手順で荷重を作用させます。すると、

ですね。

さて、以上の計算で仕事は順序を変えても無関係なので、

となります。よって、

一般的な式に変換すると、

で、この式をベティの定理と呼びます。さらに、ベティの定理においてP1、P2を1としたとき、

です。この式を、マクスウェル・ベティの定理と呼びます。さらに、単位の力による変形をたわみ係数αと呼び、次式で表します。

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