トラスの変形の求め方は？ひずみエネルギーを使う方法、変形の計算（求め方）
この記事の要点
トラスの変形（節点変位）はひずみエネルギーUを用いてカスチリアーノの定理δ=∂U/∂Pを適用することで求められる。
各部材の軸力Nを荷重Pの関数として表し、U=Σ(N2L)/(2EA)を偏微分する手順が基本。変形を求めたい方向に仮想荷重Pを加えるのがコツ。
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トラスの変形を、ひずみエネルギーを用いて求めましょう。外力による仕事とひずみエネルギーは釣り合います（等しい）。
またトラス構造には「軸力のみ」作用します。よって比較的簡単に変形量を求めることが可能です。
今回は、トラス構造の変形の求め方（計算）、ひずみエネルギーを使う方法について説明します。
外力による仕事、軸力によるひずみエネルギーについて勉強していないかたは、まずは下記をご覧ください。
ひずみエネルギーとは？公式（U=σ²/2E）の求め方とせん断との関係
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トラスの変形の求め方は？変形の計算（求め方）
例題を通して、トラスの変形の求め方を勉強しましょう。下図のようなトラス構造物があります。
下向きに荷重Pが作用しており、各部材の剛性（EA）は一定なので同じ値です。
トラス構造物の変形量は、ひずみエネルギーの計算式を用いて解けます。トラス全体のひずみエネルギーの式は
です。※軸力によるひずみエネルギーは下記をご覧下さい。
ひずみエネルギーとは？公式（U=σ²/2E）の求め方とせん断との関係
トラス部材には軸力のみ作用します。よって、軸力によるひずみエネルギーを算定し、外力の仕事と等しくなる関係から「トラスの変形」を算定できるでしょう。
まずはトラス部材の軸力をそれぞれ計算してみます。※今回はトラスの部材力の計算過程は省略します。下記を参考にしてください。
断面法とは？リッター法・クルマン法の計算手順と節点法との違い（例題付き）
トラスの軸力を下記に示します。
あとは各部材の軸力を計算式に従って解くだけです。トラス部材は２本だけなので簡単ですね。トラス部材のひずみエネルギーは以下のように計算できます。
外力はP、外力による変形量をｙとすれば外力の仕事は
です。外力の仕事とひずみエネルギーは等しい関係にあるので、
です。具体的な値を算定したいならトラス部材の断面積、ヤング係数E、荷重Pを入力すればOKです。
意外と簡単ですよね。理論を理解したら、なるべく多くの問題を解いて計算に慣れましょう。
混同しやすい用語
軸力によるひずみエネルギー（U_N）
U=Σ(N2L)/(2EA)。
トラス部材は軸力のみ作用するため、このひずみエネルギーだけで変形を計算できる。
曲げによるひずみエネルギー（U_M）
U=∫M2/(2EI)dx。
梁の変形計算に使う。
トラスには曲げモーメントが生じないため、この公式はトラスには使わない。
仮想荷重法（仮想仕事の原理）
変形を求めたい点・方向に単位荷重Pを仮定し、そのPに対するNとひずみエネルギーの偏微分で変位を算定する方法。
カスチリアーノの定理と本質的に同じ。
実際の荷重による軸力
実際の外力が作用したときの各部材軸力N。
仮想荷重Pによる軸力とは別に求める。
最終的にN×(∂N/∂P)を用いて積算する。
| 手順 | 作業内容 | 使用公式 |
|---|---|---|
| ① | 各部材の軸力Nを求める | 節点法・断面法 |
| ② | 全体のひずみエネルギーUを算出 | U = Σ N2L/(2EA) |
| ③ | 変位δをカスチリアーノの定理で求める | δ = ∂U/∂P |
まとめ
今回はトラスの変形の求め方について説明しました。トラス部材には軸力のみ作用します。
よってひずみエネルギーの算定が簡単です。外力による仕事＝ひずみエネルギーの関係から比較的簡単に変形が算定できます。
まずは外力の仕事、ひずみエネルギーについて勉強しましょう。下記が参考になります。
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意味を読んで終わりにせず、実際に理解できているかチェックしてみましょう。
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