断面一次モーメントから図心を求める方法｜複合断面の計算手順と例題

この記事の要点

複合断面の図心位置を間違えると、断面二次モーメントも狂ってしまいます。

「断面を分割して各部分の一次モーメントを合算する」という手順を一度理解すると、どんな形状にも対応できます。

この記事では、断面一次モーメントから図心を求める手順と、L形・T形断面への適用例を解説します。

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断面一次モーメントSから図心(xo,yo)を求める公式、断面一次モーメントの公式を下記に示します。Sxはｘ軸に対する断面一次モーメント、Syはy軸に対する断面一次モーメント、dAは断面の微小面積、Aは断面全体の面積です。

断面一次モーメントから図心を求める方法1

なお、よほど複雑な断面図形でない限り断面一次モーメントの計算で積分は不要です。積分を使わずに「（断面積×ある軸から断面の図心までの距離）の総和」を計算します。

断面一次モーメントから図心を求める方法2

なぜ、断面一次モーメントを断面積で割り算すると、その断面の図心が算定できるのでしょうか。

これはモーメントのつり合いから重心（重さの中心）を算定する方法と考え方は同じです。

下図に示す図形の重心位置は、２つの長方形に作用する重さによるモーメントの合計と、２つの長方形の合力によるモーメントが等しいことを利用して重心位置を求めます。

よって

断面一次モーメントから図心を求める方法3

です。

断面一次モーメントから図心を求める方法4

さて、断面の重さWは「W＝Atρg」で算定できます。Aは断面積、tは断面の厚み、ρは密度、gは重力加速度です。ρ、gは定数、tは単位長さ1と考えると

・重さ（W）　⇒　断面積（A）

・モーメントの合計（∑M）　⇒　断面一次モーメント（∑yA＝S）

・モーメントのつり合いによる重心位置の計算（∑M/W）　⇒　S/A

の相関関係を得ることに気づくでしょう。

上記を理解すれば、小難しい「断面一次モーメント」という用語も、断面一次モーメントから図心を求める計算も、モーメントの合計やモーメントのつり合いの計算と似たようなものです。

とはいえ、前述した断面一次モーメントの公式は簡単なので暗記しておくと便利です。

次に、下図に示す例題のx軸における断面一次モーメント、y方向の図心yoを算定して理解を深めましょう。

断面一次モーメントから図心を求める方法8

まず断面一次モーメントを算定します。T字を２つの長方形に分解して、断面積と図心までの距離を掛け算した合計を求めればよいので

断面一次モーメントから図心を求める方法5

です。次に断面積Aは

です。以上よりy方向の図心は

断面一次モーメントから図心を求める方法7

ですね。

混同しやすい用語

断面一次モーメントから求めるもの

図心（断面の幾何学的中心）の位置。

S÷Aで算定し、任意形状断面の図心を求める基本手法。

断面二次モーメントから求めるもの

断面の曲げ剛性・たわみ・座屈などを算定するためのI値。

図心位置の算定には使わない。

断面一次モーメントと図心の求め方を整理した表を示します。