弾性座屈荷重（オイラー座屈荷重）とは？計算式と断面二次モーメントとの関係
この記事の要点
弾性座屈荷重（オイラー座屈荷重）はPcr＝π2EI/Lk2で表され、ヤング係数E・断面二次モーメントI（曲げ剛性EI）に比例し、座屈長さLkの2乗に反比例する。
断面が細長いほど座屈しやすく、支持条件によって座屈長さが変わる点に注意が必要です。
この記事では、弾性座屈荷重とは何か、オイラーの公式はどう計算するのか、断面二次モーメントとどう関係するのかを整理します。
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弾性座屈荷重とは、材料の線形弾性を前提とした座屈荷重で「オイラー座屈荷重」ともいいます。
弾性座屈荷重Pcrの計算式はPcr＝π^2×EI/Lk^2です。
Eはヤング係数、Iは断面二次モーメント、Lkは座屈長さ（有効座屈長さ）です。
今回は、弾性座屈荷重の意味、計算、断面二次モーメントとの関係、単位、弾性座屈荷重は柱の曲げ剛性に反比例するか説明します。
座屈荷重、座屈の詳細は下記が参考になります。
座屈荷重とは？オイラー公式・計算式・単位・断面二次モーメントとの関係
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弾性座屈荷重とは？計算、断面二次モーメントとの関係は？
弾性座屈荷重とは、材料の線形弾性を前提とした座屈荷重で「オイラー座屈荷重」ともいいます。弾性座屈荷重Pcrはの計算は下式の通りです。Eはヤング係数、Iは断面二次モーメント、Lkは座屈長さ（有効座屈長さ）です。
材料の線形弾性とは下図に示すように、荷重と変位の関係が線形で、かつ、弾性の性質（力を加えると変形し、力を取り除くと変形が無くなる性質）をもつことです。
ある棒が完全に線形弾性で、かつ、初期不整（残留ひずみ、応力、ずれ等）が無ければ、座屈荷重は弾性座屈荷重の式で算定できます。
しかし鋼のように、降伏したのち材料の弾性が失われる場合、弾性座屈荷重の計算式は使用できず、非弾性荷重の考え方を必要とします。
さて、弾性座屈荷重の式を断面積Aで割り算すると、単位断面積あたりの弾性座屈荷重すなわち「座屈応力度σcr」が得られます。
上式のように、座屈応力度は細長比λが小さいほど大きくなるのですが、上式に従えば、λを0に近づけると座屈応力度は無限大に大きくなり、材料のもつ降伏応力度や圧縮強度そのものを計算上終超えてしまいます。
当然そのようなことにはならず、細長比をある値より小さくしても、前述した弾性座屈応力の理論式より小さい値になることが分かっています。
これは部材の初期不整（残留ひずみ、応力、ずれ等）の影響により、部分的に部材が塑性化を起こし、弾性座屈が成立しなくなっているためです。
この弾性座屈と非弾性座屈の境界の細長比を「限界細長比」といいます。
限界細長比の詳細は下記が参考になります。
弾性座屈荷重の計算と断面二次モーメント
弾性座屈荷重の計算式をみると明らかなように、弾性座屈荷重は、断面二次モーメントが大きいほど大きい値です。つまり、断面二次モーメントが大きい部材（固い部材）ほど座屈しにくいことを意味します。
弾性座屈荷重の単位は？
弾性座屈荷重の単位はN、kNです。座屈荷重の計算式より、ヤング係数の単位はN/mm2、断面二次モーメントの単位はmm4、Lk^2の単位はmm2なので、整理すると弾性座屈荷重の単位はNだとわかりますね。
弾性座屈荷重は柱の曲げ剛性に反比例する？
弾性座屈荷重は柱の曲げ剛性に比例します。
反比例しません。
曲げ剛性とは曲げモーメントに対する部材のかたさで「EI」のことです。
弾性座屈荷重は下式で求めるので、EIが大きくなるほどPcrは大きくなる、すなわち、弾性座屈荷重は曲げ剛性に比例します。
混同しやすい用語
「弾性座屈荷重」と「弾塑性座屈荷重」
弾性座屈荷重（オイラー荷重）は材料の降伏を考慮しない理想的な座屈荷重。
Pcr=π2EI/(kL)2で計算する。
「有効座屈長さ（kL）」と「部材長さ（L）」
有効座屈長さ（kL）は端部条件によって異なる等価な座屈長さ。
両端固定はkL=0.5L、両端ピンはkL=L、片持ちはkL=2Lとなる。
弾性座屈荷重を整理した表を示します。
| 項目 | 内容 | 備考 |
|---|---|---|
| 計算式 | Pcr＝π2EI/Lk2 | オイラー座屈荷重 |
| EIとの関係 | 曲げ剛性EIが大きいほど座屈しにくい | 断面二次モーメントIに比例 |
| 座屈長さ | 支点条件によって異なる | 両端ピン：Lk=L、片持ち：Lk=2L |
まとめ
今回は弾性座屈荷重について説明しました。弾性座屈荷重とは、材料の線形弾性を前提とした座屈荷重で「オイラー座屈荷重」ともいいます。弾性座屈荷重Pcrの計算式はPcr＝π^2×EI/Lk^2です。座屈、座屈荷重の詳細など下記も勉強しましょう。
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意味を読んで終わりにせず、実際に理解できているかチェックしてみましょう。
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
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