片持ち梁にモーメント荷重：曲げモーメント図とたわみの求め方
この記事の要点
片持ち梁の先端にモーメント荷重Mが作用するとき、曲げモーメント図は全長で一定値Mの矩形になる。
集中荷重や分布荷重と違って「スパンに比例して増加する」形にならない点が特徴だ。
自由端のたわみはδ = ML²/(2EI)で求まる。
公式を使うとき、「Mは外力モーメント（kN・m）、Lは梁の長さ（m）」という対応を間違えないよう注意したい。
ラーメン構造の節点モーメントや基礎の回転変位を扱う場面で登場する。
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モーメント荷重の作用する片持ち梁の曲げモーメントMbは「モーメント荷重と同じ値」です。
モーメント荷重がMのとき、固定端に生じる曲げモーメントMｂ＝Ｍになります。
鉛直・水平反力は0です。
また、たわみは「ML^2/2EI」です（たわみの方向はモーメント荷重の向きで変わる）。
今回は、モーメント荷重の作用する片持ち梁の応力の公式、たわみ、例題の解き方について説明します。
片持ち梁、モーメント荷重の意味、詳細は下記が参考になります。
片持ち梁とは？固定端・自由端・曲げモーメント・たわみをわかりやすく解説
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片持ち梁とモーメント荷重の関係は？公式、たわみ
モーメント荷重の作用する片持ち梁に生じる曲げモーメントＭbは「モーメント荷重と同じ値」になります。下図をみてください。モーメント荷重の作用する片持ち梁、曲げモーメント、たわみの公式を示しました。
Ｍはモーメント荷重、Ｌは片持ち梁のスパン、Ｅは梁のヤング係数、Ｉは梁の断面二次モーメントです。
固定端における曲げモーメントを求めましょう。外力はモーメント荷重Ｍだけです。固定端に生じる曲げモーメントMbとモーメント荷重Ｍは、必ず釣り合うので
となります。※モーメント荷重の詳細は下記をご覧ください。
曲げモーメント図を下図に示します。
なお、上図の回転方向にモーメント荷重が作用する時、たわみは下図の方向に生じます。
一般的に「たわみは下向きの値を正」と考えます。たわみが上向きに生じているので「負の値」とします。たわみの意味、片持ち梁のたわみの求め方は下記をご覧ください。
たわみ（撓み）とは？意味・求め方・公式・単位・記号をわかりやすく解説
混同しやすい用語
集中荷重
ある1点に集中して作用する力（単位：kN）です。
片持ち梁先端に集中荷重が作用すると、反力と曲げモーメントが生じます。
モーメント荷重
力のモーメント（単位：kN・m）が直接作用する荷重です。
モーメント荷重のみ作用する場合、鉛直・水平反力は0で曲げモーメントのみ生じます。
片持ち梁とモーメント荷重の関係を整理した表を示します。
| 項目 | 内容 | 備考 |
|---|---|---|
| 固定端の曲げモーメント | Mb＝M（モーメント荷重と同値） | 荷重の向きに注意 |
| 鉛直・水平反力 | R＝0 | 集中荷重がないため |
| 先端たわみ | δ＝ML2/2EI | たわみ方向はMの向きで変化 |
まとめ
今回は、片持ち梁とモーメント荷重の関係について説明しました。
モーメント荷重の作用する片持ち梁の固定端に生じる曲げモーメントＭｂは「モーメント荷重と同じ値」です。
たわみは「ＭL^2/2EI」で算定します。
まずは片持ち梁、モーメント荷重の意味を理解しましょう。
下記が参考になります。
片持ち梁とは？固定端・自由端・曲げモーメント・たわみをわかりやすく解説
単純梁にモーメント荷重が作用する場合の解き方｜反力・せん断力・曲げモーメントの求め方
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理解度チェック
片持ち梁の先端にモーメント荷重Mが作用するとき、固定端の曲げモーメントと反力はどうなりますか。
答えを見る
固定端の曲げモーメント Mb＝M（モーメント荷重と同値、釣り合うため）になります。外力はモーメント荷重だけで集中荷重がないため、鉛直・水平反力はともに0です。
片持ち梁にモーメント荷重が作用するときの曲げモーメント図の特徴を説明してください。
答えを見る
曲げモーメント図は全長で一定値Mの矩形になります。集中荷重や分布荷重と違い、スパンに比例して増加する形にはなりません。
片持ち梁にモーメント荷重が作用するときの先端たわみの公式を答えてください。
答えを見る
δ＝ML2/(2EI) です（Mはモーメント荷重、Lはスパン、Eはヤング係数、Iは断面二次モーメント）。たわみの方向はモーメント荷重の向きで変わります。
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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