片持ち梁とモーメント荷重の関係は？1分でわかる公式、たわみの求め方

この記事の要点

モーメント荷重Mが作用する片持ち梁の固定端曲げモーメントはMb＝M、鉛直・水平反力は0、たわみはML²/2EIです。反力が0になることがポイントです。

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モーメント荷重の作用する片持ち梁の曲げモーメントMbは「モーメント荷重と同じ値」です。モーメント荷重がMのとき、固定端に生じる曲げモーメントMｂ＝Ｍになります。鉛直・水平反力は0です。また、たわみは「ML^2/2EI」です（たわみの方向はモーメント荷重の向きで変わる）。今回は、モーメント荷重の作用する片持ち梁の応力の公式、たわみ、例題の解き方について説明します。片持ち梁、モーメント荷重の意味、詳細は下記が参考になります。

片持ち梁とは？1分でわかる構造、様々な荷重による応力と例題

モーメント荷重とは？1分でわかる意味、片持ち梁のモーメント図と計算方法

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片持ち梁とモーメント荷重の関係は？公式、たわみ

モーメント荷重の作用する片持ち梁に生じる曲げモーメントＭbは「モーメント荷重と同じ値」になります。下図をみてください。モーメント荷重の作用する片持ち梁、曲げモーメント、たわみの公式を示しました。

片持ち梁とモーメント荷重の関係

片持ち梁とモーメント荷重の関係2

Ｍはモーメント荷重、Ｌは片持ち梁のスパン、Ｅは梁のヤング係数、Ｉは梁の断面二次モーメントです。

固定端における曲げモーメントを求めましょう。外力はモーメント荷重Ｍだけです。固定端に生じる曲げモーメントMbとモーメント荷重Ｍは、必ず釣り合うので

片持ち梁とモーメント荷重の関係3

となります。※モーメント荷重の詳細は下記をご覧ください。

モーメント荷重とは？1分でわかる意味、片持ち梁のモーメント図と計算方法

曲げモーメント図を下図に示します。

モーメント荷重の作用する片持ち梁の曲げモーメント図

なお、上図の回転方向にモーメント荷重が作用する時、たわみは下図の方向に生じます。

モーメント荷重とたわみ

一般的に「たわみは下向きの値を正」と考えます。たわみが上向きに生じているので「負の値」とします。たわみの意味、片持ち梁のたわみの求め方は下記をご覧ください。

たわみとは？1分でわかる意味、求め方、公式、単位、記号、計算法

片持ち梁のたわみを求める方法

混同しやすい用語

集中荷重

ある1点に集中して作用する力（単位：kN）です。片持ち梁先端に集中荷重が作用すると、反力と曲げモーメントが生じます。

モーメント荷重

力のモーメント（単位：kN・m）が直接作用する荷重です。モーメント荷重のみ作用する場合、鉛直・水平反力は0で曲げモーメントのみ生じます。

試験での問われ方｜管理人の一言

モーメント荷重のみ作用する片持ち梁では支点の反力が0になります。構造力学の試験では頻出問題です。反力が0になる点が特徴的なのでしっかり覚えましょう。

片持ち梁とモーメント荷重の関係を整理した表を示します。

項目	内容	備考
固定端の曲げモーメント	Mb＝M（モーメント荷重と同値）	荷重の向きに注意
鉛直・水平反力	R＝0	集中荷重がないため
先端たわみ	δ＝ML²/2EI	たわみ方向はMの向きで変化