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片持ち梁のたわみ公式と導出方法｜集中荷重・等分布荷重の計算例

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片持ち梁のたわみ公式を下図に示します。

片持ち梁の特徴、たわみの考え方は下記をご覧ください。

片持ち梁とは？固定端・自由端・曲げモーメント・たわみをわかりやすく解説

片持ち梁のたわみを求める方法

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片持ち梁のたわみ公式の導出は？

先端に集中荷重の作用する片持ち梁のたわみを導出します。たわみの公式の導出は、微分方程式を解くことで得られます。

梁のたわみを求めてみましょう。たわみを求める微分方程式は

です。上記式の詳細や導出方法等は、｢曲率を表す式｣、｢曲げモーメントと曲率の関係｣、｢微分方程式による解法｣が参考になります。

曲率を表す式とは？たわみの微分方程式との関係をわかりやすく解説

曲げモーメントと曲率の関係｜たわみの微分方程式の導出

梁のたわみを求める方法｜単純梁・片持ち梁の公式と計算手順

下図をみてください。片持ち梁の先端に集中荷重が作用しています。

0＜Lの場合

曲げモーメントMx =－P(L－x) = P(x－L)

0＜Lの場合

まず、微分方程式に曲げモーメントを代入すると、

たわみを求めたいわけですから、積分を行います。よって、

です。

未知数が2つありますので、境界条件を用いて解きます。まず、支点にはたわみは発生しないので境界条件は以下のように、

x=0,y1=0（0＜Lの場合）

また、固定端では回転はしないため、回転角が0です。

x=0,θ1=0（0＜Lの場合）

です。

以上のように、境界条件から未知数を求めることが出来ました。よって、たわみとたわみ角の式は次の通りです。

ですね。

よってx=Lのたわみ及びたわみ角は以下の式で示されます。

です。

片持ち梁の導出方法は下記もご覧ください。

片持ち梁のたわみを求める方法

集中荷重が途中に作用する場合の片持ち梁のたわみ公式は？

集中荷重が途中に作用する片持ち梁のたわみ公式は下記の通りです。

等分布荷重の作用する片持ち梁のたわみ公式は？

等分布荷重の作用する片持ち梁のたわみ公式を下記に示します。

片持ち梁のたわみ公式を整理した表を示します。

荷重条件	先端たわみの公式	備考
先端集中荷重P	δ＝PL3/3EI	最も基本の公式
等分布荷重w	δ＝wL?/8EI	先端集中荷重より小さい
荷重が途中に作用	δ＝Pb3/3EI（1+3a/2b）	aは固定端?荷重、bは荷重?先端

まとめ

今回は、片持ち梁のたわみ公式について説明しました。片持ち梁のたわみ公式は、微分方程式を解くことで得られます。片持ち梁のたわみ、片持ち梁の詳細、たわみの考え方など下記も勉強しましょう。

片持ち梁のたわみを求める方法

片持ち梁とは？固定端・自由端・曲げモーメント・たわみをわかりやすく解説

たわみ（撓み）とは？意味・求め方・公式・単位・記号をわかりやすく解説

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• 名前　ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


• 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。


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