片持ち梁の曲げモーメント図とせん断力図の関係【微分の法則】
この記事の要点
片持ち梁のせん断力図は、固定端で最大・自由端でゼロになります（集中荷重時）。
曲げモーメントとせん断力の関係はdM/dx＝Qで表されます。
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片持ち梁のせん断力図と曲げモーメント図の関係を下図に示します。
下図に示す通り、片持ち梁のせん断力図では「せん断力が固定端の位置で最大」となります。
これは、片持ち梁は１つの支点のみで荷重を支えており、荷重によるせん断力は端部に集中するからです。
せん断力図、曲げモーメント図の詳細は下記が参考になります。
せん断力と曲げモーメントの関係・違い・求め方【微分積分で理解】
曲げモーメント図とは？書き方・正負・引張側をわかりやすく解説
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曲げモーメントとせん断力と微分の関係は？
せん断力Qと曲げモーメントMには下式の関係があります。せん断力Qと曲げモーメントMは梁のスパン（長さ）ｘの関数で、曲げモーメントの関数を1階微分すると、せん断力の関数が得られます。
さらに、微分と積分は対の関係であり曲げモーメントを微分してせん断力が得られるなら「せん断力を積分すれば曲げモーメントとなる」ことが分かります。よって、上式について「梁のスパンxの微小長さdxとせん断力Qxの積」を全長xに渡り積分すると曲げモーメントMxが得られます。
また、曲げモーメントと荷重の関係は
です。上式より、曲げモーメントの２回微分が分布荷重と等しくなります。以上より、曲げモーメント、せん断力、荷重には下記の関係があります。
せん断力と曲げモーメントの関係は下記が参考になります。
せん断力と曲げモーメントの関係・違い・求め方【微分積分で理解】
混同しやすい用語
せん断力図（SFD）
部材に生じるせん断力の分布を示した図です。
片持ち梁（集中荷重時）では固定端で最大、自由端でゼロになります。
曲げモーメント図（BMD）
部材に生じる曲げモーメントの分布を示した図です。
片持ち梁では固定端で最大、自由端でゼロになります。
せん断力とはdM/dx＝Qの関係があります。
片持ち梁のせん断力図と曲げモーメント図の関係を整理した表を示します。
| 項目 | 特徴 | 備考 |
|---|---|---|
| せん断力図（SFD） | 固定端で最大、自由端でゼロ（集中荷重時） | dM/dx＝Qの関係 |
| 曲げモーメント図（BMD） | 固定端で最大（M＝PL）、自由端でゼロ | SFDを積分するとBMD |
| 微分・積分の関係 | dM/dx＝Q、d2M/dx2＝w（分布荷重） | 荷重・Q・Mの3段階 |
まとめ
今回は、片持ち梁のせん断力図について説明しました。
片持ち梁は１つの固定端のみで荷重を支えています。
よって、荷重により生じるせん断力、曲げモーメントは固定端まで伝達される必要があり、せん断力は端部で最大値をとります。
片持ち梁のせん断力、曲げモーメント図の詳細など下記も勉強しましょう。
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- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
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