片持ち梁のたわみを求める例題、どうやって求めるの？
この記事の要点
片持ち梁のたわみは荷重の種類や作用位置により変化します。
先端集中荷重ではδ＝PL3/3EI、等分布荷重ではδ＝wL⁴/8EIの公式を状況に応じて使い分けます。
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下図に示す片持ち梁のたわみを求めましょう。なお、鉄骨梁の断面二次モーメントは2000cm4とします。
たわみの公式は荷重条件によって変わります。上図の例題では片持ち梁の先端に集中荷重が作用しており、片持ち梁のたわみの公式は
δ=(PL^3)/3EI
です。L=3000mm、P=20kN、鉄骨梁なのでヤング係数E=2.05×10^5N/mm2、断面二次モーメントI＝2000×10^4mm4なので、片持ち梁のたわみは
δ=(PL^3)/3EI=(20×1000×3000^3)/(3×2.05×10^5×2000×10^4 )≒43.9mm
だと分かります。次に、下図の例題を解きましょう。集中荷重が先端ではなく先端から2m固定端に近づいた位置に作用しています。
集中荷重が任意の位置に作用する片持ち梁先端たわみの公式は
δ=(Pb^3)/3EI (1+3a/2b)
です。上図よりa=2、b=1なので（その他の条件は最初の例題と同じ）
δ=(Pb^3)/3EI (1+3a/2b)=(20×1000×1000^3)/(3×2.05×10^5×2000×10^4 ) (1+(3×2)/(2×1))≒6.5mm
になります。上記のように、荷重が同じ値でも作用位置によりたわみの値が大きく変わることが分かります。最後の例題として等分布荷重の作用する片持ち梁のたわみを計算します。
等分布荷重の作用する片持ち梁のたわみの公式は下記の通りです。
δ=(wL^4)/8EI
w=7kN/mより
δ=(wL^4)/8EI=(7×3000^4)/(8×2.05×10^5×2000×10^4 )≒17.3mm
です。
等分布荷重ｗ＝7kN/mなので、片持ち梁に作用する全荷重としては7×3＝21kNであり、これまで例題で計算した片持ち梁に作用する荷重と同程度です。
しかし、荷重の総量は同じでも集中荷重か等分布荷重かでたわみの値が大きく変わることが理解頂けたと思います。
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混同しやすい用語
先端に集中荷重が作用する場合
たわみ公式はδ＝PL3/3EI。
Lは片持ち梁のスパン全体（固定端〜自由端）で計算します。
荷重が途中に作用する場合
たわみ公式はδ＝Pa2(3L-a)/6EI（aは固定端から荷重作用点の距離）。
先端荷重と公式が異なる点に注意しましょう。
片持ち梁のたわみの例題を整理した表を示します。
| 例題 | 計算結果 | 備考 |
|---|---|---|
| 先端集中荷重P＝20kN、L＝3m | δ≒43.9mm | δ＝PL3/3EI |
| 途中集中荷重P＝20kN（a＝2m、b＝1m） | δ≒6.5mm | 荷重位置で大きく変化 |
| 等分布荷重w＝7kN/m、L＝3m | δ≒17.3mm | δ＝wL⁴/8EI |
まとめ
今回は片持ち梁のたわみを求める例題について解説しました。前述したように、同じ片持ち梁でも荷重の作用位置や荷重の種類（集中荷重、分布荷重）に応じて、たわみの公式は変わります。片持ち梁の意味、片持ち梁のたわみの公式は下記が参考になります。
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理解度チェック
先端集中荷重が作用する片持ち梁のたわみ計算例を説明してください。
答えを見る
δ＝PL3/3EI を使います。P＝20kN、L＝3000mm、E＝2.05×105N/mm2、I＝2000×104mm4なら、δ＝(20×1000×30003)/(3×2.05×105×2000×104)≒43.9mmです。
集中荷重が途中（先端から離れた位置）に作用する片持ち梁の先端たわみ公式を答えてください。
答えを見る
δ＝Pb3/3EI×(1+3a/2b) です（aは固定端〜荷重、bは荷重〜先端）。同じ荷重でも作用位置によりたわみが大きく変わり、先端より固定端寄りに作用するほどたわみは小さくなります。
荷重の総量が同じでも集中荷重と等分布荷重でたわみが変わることを例で説明してください。
答えを見る
等分布荷重 δ＝wL4/8EI で、w＝7kN/m・L＝3mなら総荷重21kN・δ≒17.3mmです。先端集中荷重20kN（同程度の荷重）では約43.9mmで、荷重総量がほぼ同じでも集中荷重の方がたわみが大きくなります。
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- 2017年12月に当HPが書籍化。
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