モールの応力円とせん断応力の関係｜最大せん断応力を図で求める手順

この記事の要点

モールの応力円は、ある点の応力状態を円グラフで表現することで、せん断応力の最大値や主応力の向きを視覚的に求める図解ツールです。

縦軸にせん断応力τ、横軸に垂直応力σをとった座標系で描きます。

せん断力のみが作用する場合は、主応力が±45°方向に現れることをモールの応力円から確認できます。

試験でせん断応力の正負を問われたときは、回転方向の定義を確認してから円を描くと間違いが減ります。

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モールの応力円とせん断応力の関係は、応力円を描くと垂直応力σとせん断応力τの関係が分かります。

σとτは円の関係で表示されるので、σのみ作用しても「せん断応力が生じる」のです。

逆にせん断力のみ作用しても垂直応力が生じます。

今回はモールの応力円とせん断応力の関係、せん断応力の正負、せん断力のみ作用する場合の応力について説明します。

モールの応力円、二軸方向の応力のつり合いなど下記も参考になります。

モールの応力円とせん断応力の関係は？せん断応力の正負は？

モールの応力円とはせん断応力τと垂直応力σの関係を表す円です（縦軸にτ、横軸にσをとる）。下図にモールの応力円を示します。

モールの応力円

上図のように、モールの応力円の中心は(σ,0)です。よって、モールの応力円を描く場合、円周上の２点の座標が既知であれば中心が分かり、その中心から２点を通るように円を描けばよいのです。

なお、せん断応力は「物体をずらすような１組の力」であり、必ず正負の値（相反する方向に作用する）があります。また、モールの応力円を描く場合、縦軸では原点より上側が正、下側が負の値、横軸では原点より右側が正、左側が負の値をとります。

モールの応力円の詳細は下記をご覧ください。

ここにσx、σy、せん断応力τxy=0が作用する物体を考えます。この応力状態におけるモールの応力円を描くと下図が得られます。

モールの応力円とせん断応力の関係

モールの応力円を描けば明らかなように、見かけ上、垂直応力のみ作用しているにも関わらず、実際には「せん断応力も生じる」ことがわかります。

たとえば、物体を一軸方向に引張試験または圧縮試験すると、斜め方向に亀裂が入って破断することがあります。これは、せん断応力による作用であり、例えばコンクリートなどは圧縮強度に対してせん断強度の方が小さいので、圧縮荷重を加えても「せん断応力が生じて、せん断破壊」が起きるのです。

モールの応力円の元となる、二軸方向に生じる応力のつりあいから得られる、任意断面のせん断応力τの式を示します。下式に示すように、τxy＝０でも、垂直応力σx、σyによりせん断応力が生じますね。

任意断面の応力の求め方と力のつりあい4

二軸方向の応力の詳細は下記が参考になります。

せん断力のみ作用する場合のモールの応力円を描いて応力状態を確認しましょう。σx=0、σy=0、τ＝τxyにおけるモールの応力円を描きます。２点の座標は(0,τxy)と(0,－τxy)なので、円の中心がσ-τ軸と一致する応力円が得られます。

このように、物体にせん断力のみ作用しても「垂直応力も生じる」ことがわかります。前述と同様に、モールの応力円の元となる、二軸方向に生じる応力のつりあいから得られる、任意断面の垂直応力σの式からも明らかです。

任意断面の応力の求め方と力のつりあい6

上式⑤をみればτxyの項があるためσx、σyが作用しなくてもσは生じます。

混同しやすい用語

「法線応力度（σ）」と「せん断応力度（τ）」

法線応力度σは断面に垂直（法線方向）に作用する応力度。

引張・圧縮の法線応力。

「モールの応力円上のせん断応力」と「実際のせん断力図のせん断力」

モールの応力円上のτはある断面での応力状態を表す。

せん断力図（Q図）のQは断面全体のせん断合力。

τはQ/Asで換算されるが、断面内での分布は均一ではない（放物線分布など）。

モールの応力円とせん断応力の関係を整理した表を示します。