モールの応力円から最大主応力・最小主応力を求める方法

この記事の要点

弾性力学の授業でモールの応力円を初めて習ったとき、「なぜ円になるのか」の証明より先に「どう使うか」を覚えたほうが理解が速かった。

σx・σy・τxyの三値から円を描き、左端と右端のσ値が主応力になるという手順を先に習得した。

最大主応力は設計で破壊方向を判定するのに使う。

FEM解析でも主応力コンター図を読むために必要な概念だ。

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最大主応力はモールの応力円とｘ軸の交点における大きい方の値です。

小さい方の値を最小主応力といいます。

モールの応力円とは、縦軸にせん断応力τ、横軸に垂直応力σをとり、τとσの関係を表す円です。

今回はモールの応力円と最大主応力の関係、求め方、最小主応力の求め方について説明します。

モールの応力円、最大主応力の詳細は下記が参考になります。

モールの応力円と最大主応力の関係は？求め方は？

モールの応力円についてτ＝0になるときのσのうち大きい方の値が「最大主応力（σ1）」です。下図をみてください。縦軸にせん断応力τ、横軸に垂直応力σをとり、τとσの関係を表した円をモールの応力円といいます。

モールの応力円と最大主応力の関係

モールの応力円の中心は[(σx+σy)/2,0]なので、応力円とｘ軸との交点でσは最大（最大主応力）および最小（最小主応力）をとります。

最大主応力σ1の求め方を下記に示します。σx、σyはｘ軸、ｙ軸方向に生じる垂直応力、τxyはせん断応力です。

最大主応力

モールの応力円の円周上の座標は、垂直応力σとせん断応力τの座標を軌跡するものであり、すなわち、モールの応力円を描いて円とｘ軸の交点を読み取ることで、最大主応力を得られます。

モールの応力円の描き方は簡単です。σx、σy、τxyは既知であるとします。xy平面に座標を描くのと同様の手順で、(σ,τ)=(σx,τxy)、(σ,τ)=(σy,－τxy)の座標をστ平面に描きます。

この２点を結んだ線とｘ軸の交点は応力円の中心であり、あとは中心が２点を通るような円を描けばモールの応力円が描けますね。

モールの応力円の描き方3

最大主応力の詳細は下記が参考になります。

最小主応力（σ3またはσ2の記号で示す）の求め方は下記の通りです。前述した「最大主応力の公式」と似ていますが、引き算するので値が小さくなります。

最小主応力

最小主応力の詳細は下記が参考になります。

混同しやすい用語

「最大主応力（σ₁）」と「最小主応力（σ₂）」

最大主応力σ₁は二つの主応力の大きい方。

引張が正の場合、最も大きな引張応力度（または最も小さい圧縮応力度）を指す。

「主応力の方向」と「最大せん断応力の方向」

主応力面はせん断応力がゼロになる面で、最大・最小主応力はその面に垂直に作用する。

最大せん断応力は主応力面から45°傾いた面に作用する。

モールの応力円と最大主応力・最小主応力を整理した表を示します。