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両端固定梁に等分布荷重が作用するときの曲げモーメント、たわみ、両端固定梁に集中荷重が作用するときの曲げモーメント、たわみは？

両端固定梁に等分布荷重が作用するときの曲げモーメント、たわみは下記の通りです。

上記の通り、両端固定梁に等分布荷重が作用するとき、梁の中央部よりも固定端部分に曲げモーメントが集まります。

また、固定端部、中央部共に両端ピン支点の最大曲げモーメント（wL^2/8）より小さいです。

たわみについては、両端ピン支点の値と比べて1/5小さいことが分かります（両端ピン支点のたわみ＝5wL^4/384EI）。

さて、両端固定梁は不静定構造ですが、重ね合わせの原理より「力のつり合い式のみ」で前述の曲げモーメントを算定できます。

一般に、固定端が２カ所ある両端固定梁は反力の未知数が6つあります。

本問題では水平力は作用していないので水平反力＝0とすれば、残りの反力の未知数は4つです。

いずれにしても、力のつり合い式だけでは反力を算定できません。

そこで考え方を変えて、両端固定梁を支点に曲げモーメントが作用する単純梁に置き換えます。

つまり、両端固定梁の固定端に作用する反力モーメントを外力に置き換え、その分、未知数を２つ減らしたということです。

上図は２種類の外力が作用する単純梁ですから、当然、力のつり合い式で反力、応力、変形が求められます。

ここで重ね合わせの原理を用います。

つまり、２つの外力が作用する別々の梁として解き、曲げモーメントおよびたわみを重ね合わせ（足し合わせ）れば、両端固定梁の結果が得られます。

重ね合わせの原理の詳細は下記をご覧ください。

重ね合わせの原理とは？1分でわかる意味、不静定梁の解き方、たわみ

さて、単純梁に等分布荷重が作用すると下図のようにたわみます。このとき、支点にたわみは生じませんが、「たわみ角」が生じます。※たわみ角については下記が参考になります。

たわみ角とは？公式・単位（rad）・例題で学ぶ計算法

ここで元々の両端固定梁を考えると、固定端では「たわみ」及び「たわみ角」はゼロ（0）です。つまり、等分布荷重の作用する単純梁（梁1）、支点に外力モーメントの作用する単純梁（梁2）の「たわみ角の値を足し合わせると、その結果はゼロになる」のです。以上より

梁1のたわみ角－梁2のたわみ角＝0

梁1のたわみ角＝梁2のたわみ角

が得られます。

梁1、2のたわみ角の計算過程は省略しますが、それぞれ下記です。

よって、支点に作用する外力モーメント（両端固定梁に作用する反力モーメント）は

です。また、中央の曲げモーメントは「中央曲げモーメント＝単純梁の曲げモーメント－固定端モーメント」より、

です。

以上の考え方を「集中荷重の作用する両端固定梁」にも適用すると、両端固定梁に集中荷重が作用するときの曲げモーメント、たわみは下記となります。

両端固定梁に等分布荷重が作用するときと同様に、両端固定梁を単純梁に置き換えて重ね合わせの原理を適用します。

以降の詳細な解説は重複するので省略しますが、

よって、支点に作用する外力モーメント（両端固定梁に作用する反力モーメント）は

です。また、中央の曲げモーメントは「中央曲げモーメント＝単純梁の曲げモーメント－固定端モーメント」より、

です。

両端固定梁に等分布荷重・集中荷重が作用する場合の公式を整理した表を示します。

まとめ

今回は、両端固定梁に等分布荷重が作用するときの曲げモーメント、たわみについて説明しました。それぞれ

です。また、両端固定梁に集中荷重が作用するときの曲げモーメント、たわみは下記の通りです。

両端固定梁の詳細は下記もご覧ください。

両端固定梁とは？1分でわかる意味、曲げモーメント、たわみ、解き方

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この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学 わかる構造力学（改訂版）

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• 名前　ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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