三角形の断面係数の公式｜bh²/24とbh²/12の使い分けと導出方法

この記事の要点

三角形断面の断面係数が「bh²/24かbh²/12か」と聞かれたとき、即答できなかったことがある。

図心からの距離が頂点側（h/3）と底辺側（2h/3）で異なるため、断面係数も二種類ある。

Z=I/yという定義で、Iは断面二次モーメント（bh³/36）、yは中立軸からの距離。

どちらの距離を使うかで値が変わる。

導出過程を追うと、なぜ二種類あるかが分かる。

断面係数Z＝I/yにより、図心から各端までの距離yが上下で異なる三角形断面では断面係数も上下で異なる値となる。

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三角形の断面係数はbh^2/24またはbh^2/12です。

三角形の断面二次モーメントはbh^3/36です。

断面係数は「断面二次モーメント÷図心軸から上端（下端）までの距離」で算定されます。

三角形の場合、図心位置が底辺から1/3の位置にあるため「Z1= bh^3/36×2/3= bh^2/24、Z2= bh^3/36×/3= bh^2/12」が得られます。

今回は、三角形の断面係数、導出方法について説明します。

断面係数、三角形の断面二次モーメントの詳細は下記が参考になります。

三角形の断面係数は？

三角形の断面二次モーメントは下記の通りです。

三角形の断面係数1

三角形は図心軸が対称ではないため、断面係数は下図の例でいうと図心軸より上側でZ1の値、図心軸より下側でZ2の値をとります。

三角形の断面係数2

断面二次モーメントの詳細は下記が参考になります。

三角形の断面係数を導出します。なお、三角形の断面二次モーメントの導出は下記をご覧ください。

三角形の断面二次モーメントは下式の通りです。

三角形の断面二次モーメント

断面係数は下式より導出できます。Iは断面二次モーメント、yは図心軸から上端（下端）までの距離です。

下図をみてください。三角形の図心位置は底辺から高さの1/3の位置にあります。よって、図心軸から三角形の上端までの距離が2h/3、下端までの距離がh/3のようにyの値が図心軸を境に上下で変わります。

三角形の断面係数の導出方法2

以上より三角形の断面係数は

三角形の断面係数の導出方法3

が得られます。

混同しやすい用語

三角形の断面係数（下端側）：bh2/12

図心から下端（底辺側）までの距離がh/3であるため、Z下＝(bh3/36)/(h/3)＝bh2/12となる。

上端側の断面係数bh2/24と比べて2倍の値になり、三角形断面では位置によって断面係数が異なる点に注意が必要。

三角形の断面係数（上端側）：bh2/24

図心から上端までの距離が2h/3であるため、Z上＝(bh3/36)/(2h/3)＝bh2/24となる。

下端側のbh2/12に対して半分の値となり、設計上は小さい方の断面係数（上端側）が支配的になる。

試験での問われ方｜管理人の一言

試験では三角形断面の断面係数が「上下で異なる値」になる理由と、各値（bh2/12とbh2/24）が問われることがあります。

図心位置（h/3）→距離yの違い→断面係数の違いという流れを押さえると、公式の意味が自然に理解できます。

三角形の断面係数を整理した表を示します。