等分布荷重の反力、曲げモーメントを求める例題

この記事の要点

等分布荷重wが作用する単純梁の反力はRA＝RB＝wL/2、最大曲げモーメントはM＝wL2/8で、力のつり合い3条件（ΣH=0、ΣV=0、ΣM=0）から導ける。

等分布荷重は集中荷重wLに変換してスパン中央に作用させると、モーメント計算が容易になる。

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等分布荷重の作用する単純梁の反力、曲げモーメントを求めます。例題として、等分布荷重の大きさをw、梁のスパンをL、左支点の反力をRA、右支点の反力をRBとします。

静定梁の反力を求める場合、力のつり合い条件を用います。力のつり合い条件とは、下記の条件式です。

∑H＝0（水平方向の合力は0になる）

∑V＝0（鉛直方向の合力は0になる）

∑M＝0（回転方向の合力は0）

３方向の力のつり合いを整理して反力を求めます。なお、水平方向の外力は作用していないので

∑H＝0より　⇒　水平方向の反力は無し

です。鉛直方向の反力を整理します。等分布荷重に作用している距離を掛け算すると集中荷重に変換されるので、

鉛直方向の外力の合計は「w×L＝wL」です。この外力と反力の合計が０になる必要があるので

です。最後にモーメントのつり合いを計算します。ピン支点では回転方向に自由に変位するのでモーメントは作用しません（モーメントはゼロ）。

左側支点を起点としてモーメントのつり合いを考えます。

等分布荷重を集中荷重に変換すると、その集中荷重は等分布荷重の作用する距離の「半分の位置」に作用すると考えます。モーメントは力×距離で算定できるので

です。さらに、RAは∑V＝0より

になります。以上より、等分布荷重の作用する単純梁の反力が算定できました。次に、梁に生じる曲げモーメントを求めます。

曲げモーメントとは、部材の断面に生じるモーメントで、部材断面を湾曲させる働きがあります。

前述した∑M＝0より曲げモーメントも外力および反力によるモーメントと釣り合います。

梁の断面は、梁を切断しないと見えませんから、仮想的に梁を切断して曲げモーメントを仮定し、外力および反力によるモーメントとのつり合いを考えます。

∑Ｍ＝0より

以上より、等分布荷重の作用する単純梁に生じる曲げモーメントはwL^2/8だと分かりました。

混同しやすい用語

反力

支点が梁を支えるために生じる力で、外力や荷重と力のつり合い条件（ΣV=0、ΣM=0）により求める。

曲げモーメントとは異なり梁全体の力のつり合いで算定し、等分布荷重の場合は左右対称ならRA＝RB＝wL/2となる。

曲げモーメント

梁の断面を湾曲させる力で、任意断面で梁を切断しΣM=0を用いて求める断面力の一つ。

反力とは計算対象が異なり、等分布荷重の単純梁では中央断面で最大となりM＝wL2/8が成立する。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では等分布荷重の単純梁における反力・最大曲げモーメントの値を直接求める問題が頻出される。

公式wL/2とwL2/8は必ず暗記し、等分布荷重を集中荷重に変換する手順も図でイメージできるようにしよう。

等分布荷重の反力と曲げモーメントを整理した表を示します。