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横弾性係数の基礎知識と、縦弾性係数との関係

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横弾性係数は材料固有の値で、せん断力に対する抵抗具合を示します。また縦弾性係数と横弾性係数は比例関係にあります。今回は、横弾性係数（せん断弾性係数）の計算方法や横弾性係数の単位、ポアソン比との関係などについて説明します。

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横弾性係数とは？

横弾性係数は、せん断力に対する弾性係数の値です。横弾性係数は「G」で表します。縦弾性係数は一般的に「E」です。Eは単に弾性係数といいますし、ヤング係数やヤング率ともいいます。ヤング係数については下記の記事が参考になります。

ヤング係数ってなに？1分でわかるたった1つのポイント

横弾性係数を求める式は、

G=E×1／2（1+ν）

縦弾性係数が、引張・圧縮力に対する抵抗を表す値なら、横弾性係数はせん断力に対する抵抗値です（ちなみに曲げモーメントは、引張と圧縮の組み合わせによる応力なので、縦弾性係数が対応する抵抗値です）。また横弾性係数は、せん断弾性係数ともいいます。

下図をみてください。引張力を受ける箱状の部材があります。このとき、せん断力τが変形量はΔLです。

まず、せん断力τと、横弾性係数G、せん断歪γによる関係式（フックの法則）を示すと下記になります。

τ＝Gγ

上式は普通のフックの法則と同じ考えですが、せん断歪γは伸び縮みの量ではなく、角度で表します。

上図の例でいうと、

γ＝ΔL／ｈ

です。

さて、GはEと比例関係にありますが、前述したGの式より概ねEの値の半分以下になります。

では、横弾性係数はどのように誘導するのか実際に計算しましょう。

横弾性係数の計算方法

下図をみてください。せん断力τ、変形ΔLが生じています。

まずせん断力と横弾性係数には下記の関係があります。

• τ＝Gγ
• γ＝ΔL／ｈ

また上図のように変形する物体は、見方を変えると（主軸を変える。下図参照）引張と圧縮力が作用しています。

 

このように応力は、主軸を変えることで値が変化するベクトルの要素を持っています。上図のようにせん断力τが作用する部材も、主軸を45度回転させれば垂直応力度が作用すると考えてよいです。

では、どうやって主軸を回転させた応力が計算できるのか。これは「主応力」を計算する式を用います。下式は主応力の算定式です。

σθ＝(σx+σy)2+(σx－σy)2×cos2θ+τsin2θ

θは任意の角度、σθは任意の角度を主軸として作用する垂直応力度、σxはX方向の応力度、σyはY方向の応力度、τはせん断応力度です。

今回、せん断応力度しか作用していないので

• σx＝0
• σy＝0
• τ＝τ

です。さらに、θ＝45度＝π/4なので、これらを代入すると、

σθ＝τsin2θ＝τsinπ/2＝τ

です。

さて、主軸を変えた場合の垂直応力度τが作用するとき、歪εは下式です。

• ε＝(ΔL／√2)／√2L
• 　＝ΔL／2L
• 　＝γ／2

また、σ＝Eεの関係から歪εを計算します。

• ε＝σ／E
• ＝（σ／E－σν／E）
• ＝（τ／E+τν／E）
• 　＝τ／E×（1+ν）

なぜ、ε＝（σ／E－σν／E）とするのか。σ／Eは主軸方向の歪ですが、主軸直交方向の歪も主軸方向の歪に関係するからです。

両方向から応力が作用するとき、縦と横、両方向の歪を考慮するからです。詳しくはポアソン比の記事で書いています。下記を参考にしてください。

ポアソン比の基礎知識、縦弾性係数との関係

以上より、下記の２式を関係づけます。

• ε＝τ／E×（1+ν）
• ε＝γ／2＝τ／2G
• τ／2G＝τ／E×（1+ν）

G＝E／2（1+ν）

横弾性係数の単位

横弾性係数は、縦弾性係数と同じ単位です。つまり

N／m㎡

が一般的です。

横弾性係数とポアソン比の関係

前述したように、横弾性係数はポアソン比と関係します。下式をみてください。

G＝E／2（1+ν）

ポアソン比が大きいほど、横弾性係数は小さくなります。ポアソン比が大きいと、主軸直交方向の変形が大きいからです。

コンクリートと鋼の横弾性係数

コンクリートと鋼の横弾性係数は下記となります。

• ・コンクリート　G= E／2.33
• ・鋼　　　　　　G=E／2.60

まとめ

今回は横弾性係数について説明しました。横弾性係数の意味や公式の誘導方法が分かって頂けたと思います。横弾性係数を計算するには、併せてポアソン比の意味も覚えたいですね。

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