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横弾性係数の基礎知識と、縦弾性係数との関係

横弾性係数は材料固有の値で、せん断力に対する抵抗具合を示します。また縦弾性係数と横弾性係数は比例関係にあります。今回は、横弾性係数(せん断弾性係数)の計算方法や横弾性係数の単位、ポアソン比との関係などについて説明します。

横弾性係数とは?

横弾性係数は、せん断力に対する弾性係数の値です。横弾性係数は「G」で表します。縦弾性係数は一般的に「E」です。Eは単に弾性係数といいますし、ヤング係数やヤング率ともいいます。ヤング係数については下記の記事が参考になります。

ヤング係数ってなに?1分でわかるたった1つのポイント

横弾性係数を求める式は、


縦弾性係数が、引張・圧縮力に対する抵抗を表す値なら、横弾性係数はせん断力に対する抵抗値です(ちなみに曲げモーメントは、引張と圧縮の組み合わせによる応力なので、縦弾性係数が対応する抵抗値です)。また横弾性係数は、せん断弾性係数ともいいます。


下図をみてください。引張力を受ける箱状の部材があります。このとき、せん断力τが変形量はΔLです。

せん断力と横弾性係数の関係

まず、せん断力τと、横弾性係数G、せん断歪γによる関係式(フックの法則)を示すと下記になります。

上式は普通のフックの法則と同じ考えですが、せん断歪γは伸び縮みの量ではなく、角度で表します。


上図の例でいうと、

です。


さて、GはEと比例関係にありますが、前述したGの式より概ねEの値の半分以下になります。


では、横弾性係数はどのように誘導するのか実際に計算しましょう。

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横弾性係数の計算方法

下図をみてください。せん断力τ、変形ΔLが生じています。

横弾性係数の求め方

まずせん断力と横弾性係数には下記の関係があります。

また上図のように変形する物体は、見方を変えると(主軸を変える。下図参照)引張と圧縮力が作用しています。

横弾性係数の計算方法

主軸を変えた場合の垂直応力度

 

このように応力は、主軸を変えることで値が変化するベクトルの要素を持っています。上図のようにせん断力τが作用する部材も、主軸を45度回転させれば垂直応力度が作用すると考えてよいです。


では、どうやって主軸を回転させた応力が計算できるのか。これは「主応力」を計算する式を用います。下式は主応力の算定式です。

θは任意の角度、σθは任意の角度を主軸として作用する垂直応力度、σxはX方向の応力度、σyはY方向の応力度、τはせん断応力度です。


今回、せん断応力度しか作用していないので

です。さらに、θ=45度=π/4なので、これらを代入すると、

です。


さて、主軸を変えた場合の垂直応力度τが作用するとき、歪εは下式です。

また、σ=Eεの関係から歪εを計算します。

 

なぜ、ε=(σ/E−σν/E)とするのか。σ/Eは主軸方向の歪ですが、主軸直交方向の歪も主軸方向の歪に関係するからです。


両方向から応力が作用するとき、縦と横、両方向の歪を考慮するからです。詳しくはポアソン比の記事で書いています。下記を参考にしてください。

ポアソン比の基礎知識、縦弾性係数との関係


以上より、下記の2式を関係づけます。


横弾性係数の単位

横弾性係数は、縦弾性係数と同じ単位です。つまり

が一般的です。

横弾性係数とポアソン比の関係

前述したように、横弾性係数はポアソン比と関係します。下式をみてください。

ポアソン比が大きいほど、横弾性係数は小さくなります。ポアソン比が大きいと、主軸直交方向の変形が大きいからです。

コンクリートと鋼の横弾性係数

コンクリートと鋼の横弾性係数は下記となります。

まとめ

今回は横弾性係数について説明しました。横弾性係数の意味や公式の誘導方法が分かって頂けたと思います。横弾性係数を計算するには、併せてポアソン比の意味も覚えたいですね。

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