フックの法則とは？σ=Eε公式・単位とヤング率・応力の関係

この記事の要点

フックの法則とは、弾性域において応力度σとひずみεが比例する（σ＝Eε）という法則です。

補足：ヤング率（弾性係数）Eが大きいほど同じひずみに対して大きな応力が発生し、変形しにくくなります。

この記事では、フックの法則とは何か、σ=Eεの公式はどう使うのか、ヤング率とひずみはどう関係するのかを整理します。

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フックの法則とは、弾性状態では応力とひずみが比例関係にあるという法則です。

タップできる目次

フックの法則とは？

鋼では、弾性域ではフックの法則が成立しますが、降伏後は成立しません。

今回はフックの法則の意味、公式、単位、応力とヤング率との関係について説明します。

※比例関係、応力ひずみ関係、弾性と塑性の意味は、下記が参考になります。

比例関係とは｜正比例・負比例・グラフの見方

応力ひずみ線図とは？ヤング率との関係・見方と材料別の特徴（鋼材・コンクリート・脆性材料）

塑性とは？意味・弾性との違い・塑性化・靭性・延性をわかりやすく解説

フックの法則とは？

フックの法則とは、「弾性状態では応力とひずみが比例関係にある」という法則です。下式で表します。

σ＝Eε

σは応力（応力度）、Eはヤング率、εはひずみです。※応力度、ヤング率、ひずみの意味は下記が参考になります。

ヤング係数（弾性係数）とは？求め方と公式、単位、材料ごとの値【図解】

応力ひずみ線図とは？ヤング率との関係・見方と材料別の特徴（鋼材・コンクリート・脆性材料）

ひずみ・ひずみ度とは？意味・公式（ΔL/L）・単位・応力との関係を解説

公式の意味は後述しますが、フックの法則が成立するとき、下記の特徴があることを覚えましょう。

・応力とひずみは比例関係にある

・材料に力を加えると変形するが、力を取り除くと元の状態に戻る

フックの法則が成立する状態では、材料を両側から引張り伸ばしても、力を抜けば元の状態に戻ります。これを「弾性」といいます。※弾性の意味は下記も参考になります。

弾性とは？塑性との違い・例（ゴム・鋼材）・降伏点との関係を解説

これはバネの動きに似ています。バネは伸縮します。力を加えると伸び縮みしますが、力を抜くと元の状態に戻ります。下図をみてください。バネの先に重りを付けます。重りの力でバネは伸びます。重りを外すと、伸びが無くなります。

フックの法則とバネの実験

フックの法則は、あらゆる材料に当てはまります。例えば、木材や金属、繊維等。

フックの法則を体験しようと思うと、物を引張るのが一番良いです。適度に柔らかい材料（消しゴムなど）を引張ると、直感的に理解できるでしょう。

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フックの法則の公式

フックの法則の公式は下記です。

σ＝Eε

σは応力（応力度）、Eはヤング率、εはひずみです。なお、建築ではσを応力度といいますが、他分野では応力ともいいます。今回は応力とします。

また、フックの法則は下式で表すこともできます。

ｆ＝ｋｘ

ｆは力、ｋはバネ定数、ｘは物体の変位量です。詳細は下記をご覧ください。

f=kxとは？フックの法則の式と記号（F・k・x）の単位

前述したバネの例え話は、まさに上式を表しています。元々、フックの法則は外力（f）と変位（k）の関係式です。

部材断面の大きさ、引張る部材の長さで、バネ定数kが変化します。材料の特性を知るためには都合が悪い式です。

そこで考えられたのが、σ＝Eεです。

なお材料の種類で、変形しやすいさは異なります。これはバネ定数ｋが材料毎に違うからです。※ばね定数の意味は、下記も参考になります。

ばね定数とは？公式k=F/δ・ヤング率との関係と構造解析（バネモデル）での使い方

ばね定数の単位はN/m？意味・計算方法・ヤング率との関係

フックの法則と単位

フックの法則の単位を下記に整理しました。

σ　⇒　N/m㎡

E　⇒　N/m㎡

ε　⇒　単位無し（無次元数）

ｆ　⇒　ｋNまたはN

ｋ　⇒　kN/cmまたはN/mm

ｘ　⇒　cmまたはmm

※応力度やひずみの単位は、下記も参考になります。

応力度とは？種類・計算方法・応力との違い

ひずみ・ひずみ度とは？意味・公式（ΔL/L）・単位・応力との関係を解説

フックの法則とヤング率、応力の関係

フックの法則で重要なのは、ヤング率Eです。数学的に言うと比例定数です。

Eは弾性係数またはヤング係数、ヤング率といいます。弾性係数Eは部材断面や長さに影響しないので、材料の特性そのものを表しています。※ヤング率の意味は下記も参考になります。

ヤング係数（弾性係数）とは？求め方と公式、単位、材料ごとの値【図解】

また、せん断応力τとせん断ひずみγも比例関係です。下式をみてください。

τ＝Gγ

Gはせん断弾性係数といいます。せん断弾性係数は下記が参考になります。

横弾性係数の基礎知識と、縦弾性係数との関係

材料力学で勉強するフックの法則

前述したフックの法則は、２次元での話です。物体は３次元なので、フックの法則も３次元用に拡張する必要があります。

数学的テクニックを要しますが、ご興味のある方は下記の記事も参考になります。

フックの法則の3次元拡張とは？材料力学からの導出と有限要素法への応用（弾性体の式）

混同しやすい用語

フックの法則（σ＝Eε）

弾性域内で応力度σとひずみεが比例するという法則。

ヤング率（弾性係数E）

フックの法則の比例定数。材料ごとに固有の値を持ち、剛性の指標になる。

ばね定数k

力と変形の比（k＝F/δ）。フックの法則を部材全体に適用したもの。E・A・Lから決まる。

フックの法則を整理した表を示します。

項目	内容	備考
公式（引張・圧縮）	σ＝Eε	σ:応力度、E:ヤング率、ε:ひずみ
公式（せん断）	τ＝Gγ	τ:せん断応力度、G:横弾性係数、γ:せん断ひずみ
適用範囲	弾性域（降伏点以下）	降伏後は成立しない