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複素数の絶対値は?3分でわかる求め方、二乗の計算、複素数平面との関係

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複素数の絶対値は、複素数の実部と虚部の二乗和の平方根で算定できます。また複素数を平面上に図示するとき、原点Oから複素数の点までの距離が絶対値の値です。今回は複素数の絶対値の求め方、二乗の計算、複素数平面との関係について説明します。複素数平面、絶対値の意味は下記が参考になります。

複素数平面とは?1分でわかる意味、図示の方法、絶対値の求め方

絶対値とは?1分でわかる意味、ルート、二乗、性質と分数、記号

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複素数の絶対値は?求め方、複素数平面との関係

複素数α=a+biの絶対値は下式で算定します。


\left|\alpha\right|=\sqrt{a^2+b^2}


下図をみてください。複素数平面に複素数αを図示しました。


図 複素数平面と絶対値の求め方


複素数平面ではx軸に実数、y軸に虚数をとります。よって複素数αの点を図示することが可能です。複素数平面の詳細は下記をご覧ください。

複素数平面とは?1分でわかる意味、図示の方法、絶対値の求め方


絶対値とは数直線上における点Aと原点Oからなる距離OAのことです。つまり複素数の絶対値も「原点Oからαまでの距離」です。


直線の距離の長さはピタゴラスの定理(三平方の定理)で算定できます。直線の距離は、底辺と高さの二乗和の平方根で算定できました。よってa2+b2が複素数の絶対値です。


絶対値、ピタゴラスの定理の詳細は下記が参考になります。

絶対値とは?1分でわかる意味、ルート、二乗、性質と分数、記号

ピタゴラスの定理とは?1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い

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複素数の絶対値と二乗の計算

複素数α=a+biに対して、複素数=a-biを共役複素数(きょうやくふくそすう)といいます。複素数と共役複素数の積は、絶対値の二乗と等しいです。


複素数の絶対値と二乗の計算1


上記の通りa2+b2になりました。複素数の絶対値は上記の平方根ですから、複素数の絶対値の二乗と同じ結果といえます。よって


複素数の絶対値と二乗の計算2


です。共役複素数の詳細は下記をご覧ください。

共役複素数とは?1分でわかる意味、読み方、記号とバー、絶対値の計算

まとめ

今回は複素数の絶対値について説明しました。複素数の絶対値は、複素数を平面上に図示したときの直線の距離です。実数と虚数の二乗和の平方根をとればよいです。難しそうですが、複素数を図示すると理解できます。直線の距離はピタゴラスの定理で算定できます。下記も併せて勉強しましょうね。

絶対値とは?1分でわかる意味、ルート、二乗、性質と分数、記号

ピタゴラスの定理とは?1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い

複素数とは?1分でわかる意味、公式、実数と虚数、絶対値の計算、直線との関係

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