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剰余の定理とは?1分でわかる意味、簡単な問題、余り、商との関係

剰余の定理(じょうよのていり)とは、P(x)をx−aで割ったときの余りはP(a)に等しい、ことです。剰余の定理を用いれば、項が多く複雑そうな整式も簡単に「余り」が計算できます。剰余とは「余り」のことです。今回は剰余の定理の意味、簡単な問題、余り、商との関係について説明します。商、余りの意味は下記が参考になります。

算数の余りとは?1分でわかる意味、記号と表し方、商、除法との関係

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剰余の定理とは?

剰余の定理(じょうよのていり)とは、


P(x)をx−aで割ったときの余りがP(a)に等しい


ことです。剰余の定理を式で表すと下記になります。


剰余の定理1


下式をみてください。P(x)は文字xについての整式です。これをx−aで割りました。その結果(商)をQ(x)、余りをRとします。xは任意の値です。これらの関係式は下記の通りです。


剰余の定理2


数で考えると簡単です。7÷3=2・・・1は、7=3×2+1ですね。これを文字式で表すと上記になります。


xにaを代入すると


剰余の定理3P(a)=(a−a)Q(a)+R


ですね。


なお、


剰余の定理4


が成り立つときP(x)は(x−a)で割り切れます。6÷3=2のように、簡単な数は「割り切れる、割り切れない」がすぐに理解できます。整式同士の割り算は「割り切れるか」難しいので、ぜひ剰余の定理を使いましょう。割り切れない数の意味は下記が参考になります。

割り切れない数とは?1分でわかる意味、言い方、無理数、分数、少数との関係

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剰余の定理の簡単な問題

剰余の定理を用いて、下記の整式の余りを求めてください。


剰余の定理5


3問とも、Q(x)=0になる数をxに代入します。解答を下記に示します。


1問目は割る数がx+3です。よってx=−3を代入します。


剰余の定理6


2問目は1を代入します。


剰余の定理7


3問目は−5を代入します。


剰余の定理8


上記のように剰余の定理を用いて、余りを計算できました。

剰余の定理と余り、商との関係

剰余の定理の式を下記に示します。


剰余の定理9


上式のRが余り、Q(x)は商です。余り、商の意味は下記も参考になります。

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まとめ

今回は剰余の定理について説明しました。意味が理解頂けたと思います。剰余の定理を理解すれば、整式の余りを簡単に計算できます。項が沢山ある、次数が大きい場合に役立ちます。商と余りの関係も勉強しましょう。下記が参考になります。

数学の商とは?1分でわかる意味、読み方、余り、積、割り算(除法)との関係

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