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剰余の定理とは？1分でわかる意味、簡単な問題、余り、商との関係

剰余の定理（じょうよのていり）とは、P(x)をx－aで割ったときの余りはP(a)に等しい、ことです。剰余の定理を用いれば、項が多く複雑そうな整式も簡単に「余り」が計算できます。剰余とは「余り」のことです。今回は剰余の定理の意味、簡単な問題、余り、商との関係について説明します。商、余りの意味は下記が参考になります。

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剰余の定理とは？

剰余の定理（じょうよのていり）とは、

P(x)をx－aで割ったときの余りがP(a)に等しい

ことです。剰余の定理を式で表すと下記になります。

下式をみてください。P(x)は文字ｘについての整式です。これをx－aで割りました。その結果（商）をQ(x)、余りをRとします。ｘは任意の値です。これらの関係式は下記の通りです。

数で考えると簡単です。7÷3＝2・・・1は、7＝3×2+1ですね。これを文字式で表すと上記になります。

ｘにaを代入すると

P(a)=(a－a)Q(a)+R

ですね。

なお、

が成り立つときP(x)は(x－a)で割り切れます。6÷3＝2のように、簡単な数は「割り切れる、割り切れない」がすぐに理解できます。整式同士の割り算は「割り切れるか」難しいので、ぜひ剰余の定理を使いましょう。割り切れない数の意味は下記が参考になります。

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剰余の定理の簡単な問題

剰余の定理を用いて、下記の整式の余りを求めてください。

３問とも、Q(x)＝0になる数をｘに代入します。解答を下記に示します。

１問目は割る数がx+3です。よってｘ＝－3を代入します。

２問目は１を代入します。

３問目は－5を代入します。

上記のように剰余の定理を用いて、余りを計算できました。

剰余の定理と余り、商との関係

剰余の定理の式を下記に示します。

上式のRが余り、Q(x)は商です。余り、商の意味は下記も参考になります。

算数の余りとは？1分でわかる意味、記号と表し方、商、除法との関係

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まとめ

今回は剰余の定理について説明しました。意味が理解頂けたと思います。剰余の定理を理解すれば、整式の余りを簡単に計算できます。項が沢山ある、次数が大きい場合に役立ちます。商と余りの関係も勉強しましょう。下記が参考になります。

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