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剰余の定理とは？1分でわかる意味、簡単な問題、余り、商との関係

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剰余の定理（じょうよのていり）とは、P(x)をx－aで割ったときの余りはP(a)に等しい、ことです。剰余の定理を用いれば、項が多く複雑そうな整式も簡単に「余り」が計算できます。剰余とは「余り」のことです。今回は剰余の定理の意味、簡単な問題、余り、商との関係について説明します。商、余りの意味は下記が参考になります。

算数の余りとは？1分でわかる意味、記号と表し方、商、除法との関係

数学の商とは？1分でわかる意味、読み方、余り、積、割り算（除法）との関係

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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剰余の定理とは？

剰余の定理（じょうよのていり）とは、


P(x)をx－aで割ったときの余りがP(a)に等しい


ことです。剰余の定理を式で表すと下記になります。


剰余の定理1


下式をみてください。P(x)は文字ｘについての整式です。これをx－aで割りました。その結果（商）をQ(x)、余りをRとします。ｘは任意の値です。これらの関係式は下記の通りです。


剰余の定理2


数で考えると簡単です。7÷3＝2・・・1は、7＝3×2+1ですね。これを文字式で表すと上記になります。


ｘにaを代入すると


剰余の定理3P(a)=(a－a)Q(a)+R


ですね。


なお、


剰余の定理4


が成り立つときP(x)は(x－a)で割り切れます。6÷3＝2のように、簡単な数は「割り切れる、割り切れない」がすぐに理解できます。整式同士の割り算は「割り切れるか」難しいので、ぜひ剰余の定理を使いましょう。割り切れない数の意味は下記が参考になります。

割り切れない数とは？1分でわかる意味、言い方、無理数、分数、少数との関係

剰余の定理の簡単な問題

剰余の定理を用いて、下記の整式の余りを求めてください。


剰余の定理5


３問とも、Q(x)＝0になる数をｘに代入します。解答を下記に示します。


１問目は割る数がx+3です。よってｘ＝－3を代入します。


剰余の定理6


２問目は１を代入します。


剰余の定理7


３問目は－5を代入します。


剰余の定理8


上記のように剰余の定理を用いて、余りを計算できました。

剰余の定理と余り、商との関係

剰余の定理の式を下記に示します。


剰余の定理9


上式のRが余り、Q(x)は商です。余り、商の意味は下記も参考になります。

算数の余りとは？1分でわかる意味、記号と表し方、商、除法との関係

数学の商とは？1分でわかる意味、読み方、余り、積、割り算（除法）との関係

まとめ

今回は剰余の定理について説明しました。意味が理解頂けたと思います。剰余の定理を理解すれば、整式の余りを簡単に計算できます。項が沢山ある、次数が大きい場合に役立ちます。商と余りの関係も勉強しましょう。下記が参考になります。

数学の商とは？1分でわかる意味、読み方、余り、積、割り算（除法）との関係

算数の余りとは？1分でわかる意味、記号と表し方、商、除法との関係

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