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角錐の体積の公式は？1分でわかる公式、柱体の体積との違い、3分の1になる証明

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角錐（かくすい）の体積は「底面積×高さ×3分の1」です。角錐とは底面が多角形の錐体です。よって角錐には四角錘、三角錐など色々な形があります。ただし全ての角錐の体積＝角柱の1/3の体積です。今回は角錐の体積の公式、柱体の体積との違い、角錐の体積が、各柱の1/3になる証明を解説します。体積の公式、円錐の体積の公式など下記が参考になります。

体積の公式は？1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積

円錐の体積と公式は？1分でわかる公式、問題と高さの求め方、証明

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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角錐の体積の公式は？

角錐の体積の公式は


底面積×高さ×3分の1（又は、底面積×高さ÷3）


です。角錐は底面が多角形の錐体です。三角錐、四角錘、円錐など色々な形状がありますが、体積の公式は全て同じです。


下図の三角錐の体積を算定しましょう。底面は三角形なので三角形の面積＝底辺×高さ÷2です。あとは高さを掛けて3で割ればよいのです。


図　三角錐の体積


三角錐の体積＝(底辺×高さ÷2)×三角錐の高さ÷3＝(5×2÷2)×6÷3＝10


三角錐の体積の公式は下記が参考になります。

三角錐の体積の公式は？1分でわかる公式、問題、底面積との関係


また色々な図形の体積を知りたい方は下記をご覧ください。

体積の公式は？1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積

角錐の体積と角柱の体積の違い

角錐の体積、角柱の体積の違いを下記に示します。


角錐の体積　⇒　底面積×高さ×3分の1

角柱の体積　⇒　底面積×高さ

角錐の体積が柱体の3分の１になる理由

下図の角錐をみてください。角錐の底面は三角形ですが、分かりやすく示しただけで底面積は任意の値Aとします。角錐の頂点の位置が0のとき、底面の位置はｈです（高さをｈとする）。


図　角錐の体積と公式、証明1


頂点から任意の位置をｙとするとき、面積は高さで変化する関数でA(ｙ)と表します。頂点からの微小高さをΔｙとするとき体積は


A(ｙ)Δｙ


です。なぜかというと微小高さにおける角錐は、錘体では無く「ほぼ各柱として扱える」からです。


図　角錐の体積と公式、証明2


前述の式は「微小体積」を表すので、あとは頂点から底面まで積分すれば良いです。よって


図　角錐の体積と公式、証明3


です。A(y)を具体的なｙの関数で表すことができればVの値が算定できます。


さて底面の面積Aと頂点からｙ離れた位置の底面積A(y)は相似の関係にあります。図形の面積の比率＝辺の長さの二乗の比率と等しいので、


図　角錐の体積と公式、証明4


上式を積分の式に戻します。あとは積分を解くだけです。


図　角錐の体積と公式、証明5


となります。Aは底面積、ｈは角錐の高さです。上式より、底面の形状が変わっても角錐の「体積＝底面積×高さ÷3」だと分かりました。

まとめ

今回は角錐の体積の公式について説明しました。角錐の体積＝底面積×高さ×3分の1です。角柱の体積の1/3の値です。簡単な公式なので暗記すると便利です。証明方法も比較的簡単ですから、一度目を通すと良いでしょう。三角錐、体積の公式など下記も参考になります。

三角錐の体積の公式は？1分でわかる公式、問題、底面積との関係

体積の公式は？1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積

円錐の体積と公式は？1分でわかる公式、問題と高さの求め方、証明

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