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角錐の体積の公式は?1分でわかる公式、柱体の体積との違い、3分の1になる証明

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角錐(かくすい)の体積は「底面積×高さ×3分の1」です。角錐とは底面が多角形の錐体です。よって角錐には四角錘、三角錐など色々な形があります。ただし全ての角錐の体積=角柱の1/3の体積です。今回は角錐の体積の公式、柱体の体積との違い、角錐の体積が、各柱の1/3になる証明を解説します。体積の公式、円錐の体積の公式など下記が参考になります。

体積の公式は?1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積

円錐の体積と公式は?1分でわかる公式、問題と高さの求め方、証明

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角錐の体積の公式は?

角錐の体積の公式は


底面積×高さ×3分の1(又は、底面積×高さ÷3)


です。角錐は底面が多角形の錐体です。三角錐、四角錘、円錐など色々な形状がありますが、体積の公式は全て同じです。


下図の三角錐の体積を算定しましょう。底面は三角形なので三角形の面積=底辺×高さ÷2です。あとは高さを掛けて3で割ればよいのです。


図 三角錐の体積


三角錐の体積=(底辺×高さ÷2)×三角錐の高さ÷3=(5×2÷2)×6÷3=10


三角錐の体積の公式は下記が参考になります。

三角錐の体積の公式は?1分でわかる公式、問題、底面積との関係


また色々な図形の体積を知りたい方は下記をご覧ください。

体積の公式は?1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積

角錐の体積と角柱の体積の違い

角錐の体積、角柱の体積の違いを下記に示します。


角錐の体積 ⇒ 底面積×高さ×3分の1

角柱の体積 ⇒ 底面積×高さ

角錐の体積が柱体の3分の1になる理由

下図の角錐をみてください。角錐の底面は三角形ですが、分かりやすく示しただけで底面積は任意の値Aとします。角錐の頂点の位置が0のとき、底面の位置はhです(高さをhとする)。


図 角錐の体積と公式、証明1


頂点から任意の位置をyとするとき、面積は高さで変化する関数でA(y)と表します。頂点からの微小高さをΔyとするとき体積は


A(y)Δy


です。なぜかというと微小高さにおける角錐は、錘体では無く「ほぼ各柱として扱える」からです。


図 角錐の体積と公式、証明2


前述の式は「微小体積」を表すので、あとは頂点から底面まで積分すれば良いです。よって


図 角錐の体積と公式、証明3


です。A(y)を具体的なyの関数で表すことができればVの値が算定できます。


さて底面の面積Aと頂点からy離れた位置の底面積A(y)は相似の関係にあります。図形の面積の比率=辺の長さの二乗の比率と等しいので、


図 角錐の体積と公式、証明4


上式を積分の式に戻します。あとは積分を解くだけです。


図 角錐の体積と公式、証明5


となります。Aは底面積、hは角錐の高さです。上式より、底面の形状が変わっても角錐の「体積=底面積×高さ÷3」だと分かりました。

まとめ

今回は角錐の体積の公式について説明しました。角錐の体積=底面積×高さ×3分の1です。角柱の体積の1/3の値です。簡単な公式なので暗記すると便利です。証明方法も比較的簡単ですから、一度目を通すと良いでしょう。三角錐、体積の公式など下記も参考になります。

三角錐の体積の公式は?1分でわかる公式、問題、底面積との関係

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