1. HOME > 数学の基礎 > 角錐の体積の公式は？1分でわかる公式、柱体の体積との違い、3分の1になる証明

角錐の体積の公式は？1分でわかる公式、柱体の体積との違い、3分の1になる証明

角錐（かくすい）の体積は「底面積×高さ×3分の1」です。角錐とは底面が多角形の錐体です。よって角錐には四角錘、三角錐など色々な形があります。ただし全ての角錐の体積＝角柱の1/3の体積です。今回は角錐の体積の公式、柱体の体積との違い、角錐の体積が、各柱の1/3になる証明を解説します。体積の公式、円錐の体積の公式など下記が参考になります。

体積の公式は？1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積

円錐の体積と公式は？1分でわかる公式、問題と高さの求め方、証明

管理人おすすめ書籍⇒　見るだけで理解が加速する　得点アップ　数学公式図鑑 [ あきとんとん ]

角錐の体積の公式は？

角錐の体積の公式は

底面積×高さ×3分の1（又は、底面積×高さ÷3）

です。角錐は底面が多角形の錐体です。三角錐、四角錘、円錐など色々な形状がありますが、体積の公式は全て同じです。

下図の三角錐の体積を算定しましょう。底面は三角形なので三角形の面積＝底辺×高さ÷2です。あとは高さを掛けて3で割ればよいのです。

三角錐の体積＝(底辺×高さ÷2)×三角錐の高さ÷3＝(5×2÷2)×6÷3＝10

三角錐の体積の公式は下記が参考になります。

三角錐の体積の公式は？1分でわかる公式、問題、底面積との関係

また色々な図形の体積を知りたい方は下記をご覧ください。

体積の公式は？1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積

角錐の体積と角柱の体積の違い

角錐の体積、角柱の体積の違いを下記に示します。

角錐の体積　⇒　底面積×高さ×3分の1

角柱の体積　⇒　底面積×高さ

角錐の体積が柱体の3分の１になる理由

下図の角錐をみてください。角錐の底面は三角形ですが、分かりやすく示しただけで底面積は任意の値Aとします。角錐の頂点の位置が0のとき、底面の位置はｈです（高さをｈとする）。

頂点から任意の位置をｙとするとき、面積は高さで変化する関数でA(ｙ)と表します。頂点からの微小高さをΔｙとするとき体積は

A(ｙ)Δｙ

です。なぜかというと微小高さにおける角錐は、錘体では無く「ほぼ各柱として扱える」からです。

前述の式は「微小体積」を表すので、あとは頂点から底面まで積分すれば良いです。よって

です。A(y)を具体的なｙの関数で表すことができればVの値が算定できます。

さて底面の面積Aと頂点からｙ離れた位置の底面積A(y)は相似の関係にあります。図形の面積の比率＝辺の長さの二乗の比率と等しいので、

上式を積分の式に戻します。あとは積分を解くだけです。

となります。Aは底面積、ｈは角錐の高さです。上式より、底面の形状が変わっても角錐の「体積＝底面積×高さ÷3」だと分かりました。

管理人おすすめ書籍⇒　見るだけで理解が加速する　得点アップ　数学公式図鑑 [ あきとんとん ]

まとめ

今回は角錐の体積の公式について説明しました。角錐の体積＝底面積×高さ×3分の1です。角柱の体積の1/3の値です。簡単な公式なので暗記すると便利です。証明方法も比較的簡単ですから、一度目を通すと良いでしょう。三角錐、体積の公式など下記も参考になります。

三角錐の体積の公式は？1分でわかる公式、問題、底面積との関係

体積の公式は？1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積

円錐の体積と公式は？1分でわかる公式、問題と高さの求め方、証明

管理人おすすめ書籍⇒　増補改訂版　中学校3年分の数学が教えられるほどよくわかる [ 小杉 拓也 ]

▼スポンサーリンク▼

更新情報

• 当サイトでは、ほぼ毎日、記事更新・追加を行っております。


• 更新情報として、先月分の新着記事を一覧表示しております。下記をご確認ください。


• 新着記事一覧

プロフィール

• 
• 略歴▼
• 名前　ハナダユキヒロ/MITUME lab代表.
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


• 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。


• 当サイトの目的▼
• 建築学生が学ぶ「構造力学」の目的


• とりあえず10記事▼
• 初めましての方に10記事用意しました


• おすすめ書籍紹介▼
• ハナダユキヒロが建築関連書籍の良書を選びました

建築の本、紹介します。▼

同じカテゴリの記事一覧

• 体積と重量の違いは？1分でわかる重量の計算、比重との違い、鉄の重量換算
• 水槽の体積は？1分でわかる計算、容積、単位、リットルとの関係
• 体積の公式は？1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積
• 立方体の公式は？1分でわかる意味、体積の公式と例題の求め方、表面積の公式
• 立方体の体積は？1分でわかる計算、単位、公式、求め方、リットルとの関係
• 角柱の体積は？1分でわかる公式、求め方、底面積、台形の関係
• 三角柱の体積は？1分でわかる公式、計算、表面積の求め方
• 四角柱の体積の公式は？1分でわかる求め方、公式と計算、表面積
• 三角錐の体積の公式は？1分でわかる公式、問題、底面積との関係
• 円錐の体積と公式は？1分でわかる公式、問題と高さの求め方、証明