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円錐の体積と公式は？1分でわかる公式、問題と高さの求め方、証明

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円錐の体積の公式は「πr²h/3」です。円柱の体積の1/3の値が円錐の体積といえます。また円錐だけでなく「錐体」の体積は、柱体の体積の1/3となるので覚えておきましょう。円錐の体積の公式の証明は積分の知識が必要ですが、比較的簡単に導くことが可能です。今回は円錐の体積の公式、問題と高さの求め方、公式の証明について説明します。体積の公式は下記をご覧ください。

体積の公式は？1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積

三角錐の体積の公式は？1分でわかる公式、問題、底面積との関係

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学改訂版/工学社」

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円錐の体積と公式は？

円錐の体積の公式を下記に示します。

円錐の体積と公式

Vは体積、rは円錐底面の半径、hは円錐の高さです。下図に円錐と上記の記号を示します。

円錐の体積

つまり、

円錐の体積＝円の面積×円錐の高さ÷3

です。

上式の通り円錐の体積は、円柱の体積の1/3の値です。これは円錐に限らず「錐体の体積は柱体の体積の1/3」となります。柱体の体積は下記をご覧ください。

体積の公式は？1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積

円錐の体積と公式の問題、高さの求め方

下図の円錐の体積を、公式を用いて求めましょう。

円錐の体積と公式の問題

上記の値を公式に当てはめれば良いので簡単ですね。

円錐の体積と公式の問題、高さの求め方1

また下図の円錐の体積＝15m³、半径＝2mのとき、高さを求めてください。

円錐の高さの求め方

円錐の高さは下式を用いて算定します。体積が既知なので、前述した公式を使って高さを逆算すれ良いのです。

円錐の体積と公式の問題、高さの求め方2

あとは値を代入するだけなので

円錐の体積と公式の問題、高さの求め方3

です。

なぜ円錐の体積がπr²h/3になるのか証明します。下図の円錐をみてください。円形の底面の半径がrのとき面積＝πr²です。円錐の頂点の位置を0とするとき、底面の位置をｈとします（高さをｈとする）。

円錐の体積と公式、証明1

さて頂点から任意の位置をｙとするとき、面積は高さで変化する関数でA(ｙ)と表します。頂点からの微小高さをΔｙとするとき体積は

です。なぜかというと微小高さ分の円錐は、底面と上面で半径が変わらず「ほぼ円柱として扱える」からです。

前述の式は「微小体積」を表すので、あとは頂点から底面まで積分すれば良いです。よって

円錐の体積と公式、証明2

です。A(y)を具体的なｙの関数で表すことができればVの値が求められそうです。

さて底面の面積πr²と頂点からｙ離れた位置の底面積A(y)は相似の関係にあります。図形の面積の比率＝辺の長さの二乗の比率と等しいので、

円錐の体積と公式、証明3

上式を積分の式に戻します。あとは積分を解くだけです。

円錐の体積と公式、証明4

となります。前述した公式と一致し、円錐の体積の公式を証明できましたね。

まとめ

今回は円錐の体積の公式について説明しました。円錐の体積の公式＝円の面積×円錐の高さ÷3です。円柱の体積の1/3の値と覚えてください。また円錐だけでなく錐体の体積は「柱体の体積の1/3の値」になります。まずは公式を暗記して頂き、余裕がある方は証明方法も勉強しましょう。その他の体積の公式は下記をご覧ください。

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