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円錐の体積と公式は?1分でわかる公式、問題と高さの求め方、証明

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円錐の体積の公式は「πr2h/3」です。円柱の体積の1/3の値が円錐の体積といえます。また円錐だけでなく「錐体」の体積は、柱体の体積の1/3となるので覚えておきましょう。円錐の体積の公式の証明は積分の知識が必要ですが、比較的簡単に導くことが可能です。今回は円錐の体積の公式、問題と高さの求め方、公式の証明について説明します。体積の公式は下記をご覧ください。

体積の公式は?1分でわかる求め方と覚え方、一覧、三角柱、円柱、三角錐の体積

三角錐の体積の公式は?1分でわかる公式、問題、底面積との関係

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円錐の体積と公式は?

円錐の体積の公式を下記に示します。


V=\frac{\pi r^2h}{3}


Vは体積、rは円錐底面の半径、hは円錐の高さです。下図に円錐と上記の記号を示します。


図 円錐の体積


つまり、


円錐の体積=円の面積×円錐の高さ÷3


です。


上式の通り円錐の体積は、円柱の体積の1/3の値です。これは円錐に限らず「錐体の体積は柱体の体積の1/3」となります。柱体の体積は下記をご覧ください。

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円錐の体積と公式の問題、高さの求め方

下図の円錐の体積を、公式を用いて求めましょう。


図 円錐の体積と公式の問題


上記の値を公式に当てはめれば良いので簡単ですね。


円錐の体積と公式の問題、高さの求め方1


また下図の円錐の体積=15m3、半径=2mのとき、高さを求めてください。


図 円錐の高さの求め方


円錐の高さは下式を用いて算定します。体積が既知なので、前述した公式を使って高さを逆算すれ良いのです。


円錐の体積と公式の問題、高さの求め方2


あとは値を代入するだけなので


円錐の体積と公式の問題、高さの求め方3


です。


なぜ円錐の体積がπr2h/3になるのか証明します。下図の円錐をみてください。円形の底面の半径がrのとき面積=πr2です。円錐の頂点の位置を0とするとき、底面の位置をhとします(高さをhとする)。


図 円錐の体積と公式、証明1


さて頂点から任意の位置をyとするとき、面積は高さで変化する関数でA(y)と表します。頂点からの微小高さをΔyとするとき体積は


A(y)Δy


です。なぜかというと微小高さ分の円錐は、底面と上面で半径が変わらず「ほぼ円柱として扱える」からです。


前述の式は「微小体積」を表すので、あとは頂点から底面まで積分すれば良いです。よって


図 円錐の体積と公式、証明2


です。A(y)を具体的なyの関数で表すことができればVの値が求められそうです。


さて底面の面積πr2と頂点からy離れた位置の底面積A(y)は相似の関係にあります。図形の面積の比率=辺の長さの二乗の比率と等しいので、


図 円錐の体積と公式、証明3


上式を積分の式に戻します。あとは積分を解くだけです。


図 円錐の体積と公式、証明4


となります。前述した公式と一致し、円錐の体積の公式を証明できましたね。

まとめ

今回は円錐の体積の公式について説明しました。円錐の体積の公式=円の面積×円錐の高さ÷3です。円柱の体積の1/3の値と覚えてください。また円錐だけでなく錐体の体積は「柱体の体積の1/3の値」になります。まずは公式を暗記して頂き、余裕がある方は証明方法も勉強しましょう。その他の体積の公式は下記をご覧ください。

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