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2次不等式とは?1分でわかる意味、問題、解き方、因数分解と重解

2次不等式(にじふとうしき)とは、左辺が2次式からなる不等式です。ax2+bx+c>0やax2+bx+c<0が2次不等式です。2次不等式の解を求めることで、xの範囲がわかります。今回は2次不等式の意味、問題と解き方、因数分解と重解との関係について説明します。不等式、因数分解の詳細は下記が参考になります。

不等式とは?1分でわかる意味、計算と解き方、問題、不等式の性質

因数分解とは?1分でわかる意味、公式の一覧、問題、たすきがけのやり方

2次不等式とは?

2次不等式(にじふとうしき)とは、左辺が2次式からなる不等式です。例えば、下式などが2次不等式です。


ax2+bx+c>0

ax2+bx+c<0


2次不等式は、2次方程式と同様に因数分解などでxの解を求めます。因数分解の公式などは下記が参考になります。

因数分解とは?1分でわかる意味、公式の一覧、問題、たすきがけのやり方


ただし、2次方程式と違い「xの数」ではなく「xの数の範囲」が求められます。例えば、下式のxを求めます。


(x+2)(x−3)>0


x=−2および、x=3のとき上式は0になります。よって、−2と3の前後で、符号が切り替わります。x<−2のとき正の数、x>−2のとき負の数です。また、x<3のとき負の数、x>3のとき正の数になります。


よって、(x+2)(x−3)>0を満たすには、正の数である必要があるので、xの範囲は


x<−2

x>3


です。数直線上に表すとよくわかります。下図に示しました。


図 2次不等式の解と数直線


2次不等式の解は、不等号が反転すると変わります。下式の解を求めましょう。


(x+2)(x−3)<0


x>−2のとき負の数、x<3のとき負の数になります。よってxの解は


−2<x<3


です。


上記を一般化した解を下記に示します(α<βとする)。


(x−α)(x−β)>0の解は

x<α、x>β


(x−α)(x−β)<0の解は

α<x<β


です。2次不等式の解き方は下記も参考になります。

2次不等式の解き方は?5分でわかる解き方とパターン、グラフの使い方

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2次不等式の問題と解き方

2次不等式の問題は、因数分解などを行い解きます。ただし、xの範囲を求める時、不等号に注意してください。前述したように、不等号の向きが異なるとxの範囲が大きく違います。


(x−α)(x−β)>0の解は

x<α、x>β


(x−α)(x−β)<0の解は

α<x<β


2次不等式の解き方、因数分解の公式、詳細は下記が参考になります。

2次不等式の解き方は?5分でわかる解き方とパターン、グラフの使い方

因数分解とは?1分でわかる意味、公式の一覧、問題、たすきがけのやり方

2次不等式と因数分解、重解の関係

2次不等式の解き方の1つに、因数分解を行う方法があります。因数分解とは、和の形で表す式を、積の形に変形することです。※因数分解の詳細は下記が参考になります。

因数分解とは?1分でわかる意味、公式の一覧、問題、たすきがけのやり方


2次方程式の解に「重解(じゅうかい)」があります。重解の場合、解はx=±αです。重解の場合でも、2次不等式の解は前述した方法で求めます。2次不等式の解き方は、下記も参考になります。

2次不等式の解き方は?5分でわかる解き方とパターン、グラフの使い方

まとめ

今回は2次不等式について説明しました。意味、解き方などが理解頂けたと思います。2次不等式の解き方は、2次方程式と似ています。因数分解などを行い、xの値を求めましょう。ただし、不等号の向きに注意してください。整式が正負のどちらになるかで、xの範囲が変わります。下記も併せて勉強しましょう。

不等式とは?1分でわかる意味、計算と解き方、問題、不等式の性質

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