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2次不等式とは？1分でわかる意味、問題、解き方、因数分解と重解

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2次不等式（にじふとうしき）とは、左辺が２次式からなる不等式です。ax2+bx+c＞0やax2+bx+c＜0が2次不等式です。2次不等式の解を求めることで、ｘの範囲がわかります。今回は2次不等式の意味、問題と解き方、因数分解と重解との関係について説明します。不等式、因数分解の詳細は下記が参考になります。

不等式とは？1分でわかる意味、計算と解き方、問題、不等式の性質

因数分解とは？1分でわかる意味、公式の一覧、問題、たすきがけのやり方

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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2次不等式とは？

2次不等式（にじふとうしき）とは、左辺が２次式からなる不等式です。例えば、下式などが２次不等式です。


ax2+bx+c＞0

ax2+bx+c＜0


2次不等式は、2次方程式と同様に因数分解などでｘの解を求めます。因数分解の公式などは下記が参考になります。

因数分解とは？1分でわかる意味、公式の一覧、問題、たすきがけのやり方


ただし、2次方程式と違い「ｘの数」ではなく「ｘの数の範囲」が求められます。例えば、下式のｘを求めます。


(x+2)(x－3)＞0


ｘ＝－2および、ｘ＝3のとき上式は0になります。よって、－2と3の前後で、符号が切り替わります。ｘ＜－2のとき正の数、ｘ＞－2のとき負の数です。また、ｘ＜3のとき負の数、ｘ＞3のとき正の数になります。


よって、(x+2)(x－3)＞0を満たすには、正の数である必要があるので、ｘの範囲は


ｘ＜－2

ｘ＞3


です。数直線上に表すとよくわかります。下図に示しました。


図　２次不等式の解と数直線


２次不等式の解は、不等号が反転すると変わります。下式の解を求めましょう。


(x+2)(x－3)＜0


ｘ＞－2のとき負の数、ｘ＜3のとき負の数になります。よってｘの解は


－2＜ｘ＜3


です。


上記を一般化した解を下記に示します（α＜βとする）。


(x－α)(x－β)＞0の解は

x＜α、x＞β


(x－α)(x－β)＜0の解は

α＜x＜β


です。2次不等式の解き方は下記も参考になります。

2次不等式の解き方は？5分でわかる解き方とパターン、グラフの使い方

2次不等式の問題と解き方

2次不等式の問題は、因数分解などを行い解きます。ただし、ｘの範囲を求める時、不等号に注意してください。前述したように、不等号の向きが異なるとｘの範囲が大きく違います。


(x－α)(x－β)＞0の解は

x＜α、x＞β


(x－α)(x－β)＜0の解は

α＜x＜β


2次不等式の解き方、因数分解の公式、詳細は下記が参考になります。

2次不等式の解き方は？5分でわかる解き方とパターン、グラフの使い方

因数分解とは？1分でわかる意味、公式の一覧、問題、たすきがけのやり方

2次不等式と因数分解、重解の関係

2次不等式の解き方の１つに、因数分解を行う方法があります。因数分解とは、和の形で表す式を、積の形に変形することです。※因数分解の詳細は下記が参考になります。

因数分解とは？1分でわかる意味、公式の一覧、問題、たすきがけのやり方


2次方程式の解に「重解（じゅうかい）」があります。重解の場合、解はｘ＝±αです。重解の場合でも、2次不等式の解は前述した方法で求めます。2次不等式の解き方は、下記も参考になります。

2次不等式の解き方は？5分でわかる解き方とパターン、グラフの使い方

まとめ

今回は2次不等式について説明しました。意味、解き方などが理解頂けたと思います。2次不等式の解き方は、2次方程式と似ています。因数分解などを行い、ｘの値を求めましょう。ただし、不等号の向きに注意してください。整式が正負のどちらになるかで、ｘの範囲が変わります。下記も併せて勉強しましょう。

不等式とは？1分でわかる意味、計算と解き方、問題、不等式の性質

2次不等式の解き方は？5分でわかる解き方とパターン、グラフの使い方

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