コーシーの関係とは？応力テンソルと表面力の関係式の意味

この記事の要点

コーシーの関係（Cauchy's relation）とは、内部の応力テンソルσijと外向き法線ベクトルniから表面力tiを求める関係式 ti = σij・nj のことだ。

連続体力学の基礎式の一つで、応力の方向性（テンソル性）を理解するための出発点になる。

この式が意味するのは「ある面の表面力（引張・せん断）は、その面の法線方向と応力テンソルで決まる」ということだ。

主応力を求めるとき、コーシーの関係から固有値問題が導かれる。

有限要素法では節点力と応力の変換にも使われる。

応力テンソルの各成分が既知であれば、任意方向の面に生じる応力ベクトルをコーシーの関係を用いて求めることができる。

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物体の中に微小な四面体を考えてみます。さらに、ΔABCの面積をΔS、その面の法線ベクトルnの成分を、それぞれn1,n2,n3とします。

また、x1,x2,x3方向に垂直な面の面積をΔS1, ΔS2,ΔS3とすると、法線の向きによってΔABCを表すことができますから、

ですね。さらに、ΔABC面に作用している応力ベクトルは、前の章｢応力テンソル｣で習ったように

です。以上の関係を元に、x2方向の力のつり合いを考えましょう。｢力｣のつり合いですから、｢応力｣×｢面積｣とする必要がありますね。よって、

x2方向の力のつり合い

です。F2は物体力でこの四面体の物体力を考える場合、物体力は物体に作用しているものなので、｢応力×体積｣とする必要があります。

よって、Δb はO点からΔABCまでの垂線の長さですね。ここで、四面体は物体の微小なものであると考えれば、Δb≒0で物体力の項は消えてしまいます。

四面体を考える

以上のつり合い式を、x1,x3についても考えましょう。

x1,x3についてのつり合い式

ですね。以上のつり合い式に次式を代入します。

すると、例えばx1方向のつり合い式は

x1方向のつり合い式

ですね。同様の計算をx2,x3について行うと（計算過程は省略します）、

コーシ―の関係x2,x3

です。以上の式をテンソル表示で纏めると、

ですね。以上の式を｢コーシ―の関係｣といいます。

このままでは、｢式は理解出来たけど、コーシーの関係が何の役に立つの？｣という理解だと思います。実はコーシ―の関係は、この次に勉強する｢主応力｣という概念を導出する際に必要となるものです。

ここでは、証明の方法や式を理解しておいてください。使い方の意味は後ほどわかるでしょう。

混同しやすい用語

応力ベクトル vs 応力テンソル

応力ベクトルは特定の面に作用するトラクション（面積力）であり、面の向きによって値が変わる。

応力テンソルに対して座標系に依存して決まる9成分（対称なら6成分）のテンソル量であり、コーシーの関係を通じて任意の面の応力ベクトルを与える。

法線ベクトル vs 接線ベクトル

法線ベクトルnは対象面に垂直な単位ベクトルであり、コーシーの関係でその成分n1、n2、n3が応力ベクトルの計算に使われる。

接線ベクトルに対して法線ベクトルは面に平行な方向を示し、せん断応力成分の評価に用いる。

コーシーの関係 ti = σij nj を用いると：

t1 = σ11n1 + σ12n2 + σ13n3 = 100×1 + 30×0 + 0×0 = 100 MPa

t2 = σ21n1 + σ22n2 + σ23n3 = 30×1 + 0 + 0 = 30 MPa

t3 = 0

答え：応力ベクトル t＝(100, 30, 0) MPa（法線応力100MPa、せん断応力30MPa）

×「応力ベクトルと応力テンソルは同じもの」→○応力ベクトルは特定の面のトラクション（3成分）、応力テンソルは全方向の応力を表す量（9成分）で別物
×「コーシーの関係 ti = σij nj でiとjを入れ替えてもよい」→○iは応力ベクトルの成分、jは総和をとるインデックスで法線ベクトルnjと縮約するため、入れ替えると別の量になる
×「対称応力テンソルでもσ12≠σ21」→○モーメントのつり合いよりσij = σji（対称）が成り立つため独立成分は6つ