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コーシーの関係

さて、物体の中に微小な四面体を考えてみます。さらに、ΔABCの面積をΔS、その面の法線ベクトルnの成分を、それぞれn1,n2,n3とします。
また、x1,x2,x3方向に垂直な面の面積をΔS1, ΔS2,ΔS3とすると、法線の向きによってΔABCを表すことができますから、
ΔABCを表す
ですね。さらに、ΔABC面に作用している応力ベクトルは、前の章「応力テンソル」で習ったように
ΔABC面に作用している応力ベクトル
です。以上の関係を元に、x2方向の力のつり合いを考えましょう。「力」のつり合いですから、 「応力」×「面積」とする必要がありますね。よって、
x2方向の力のつり合い
です。F2は物体力でこの四面体の物体力を考える場合、物体力は物体に作用しているものなので、「応力×体積」とする必要があります。よって、Δb はO点からΔABCまでの垂線の長さですね。ここで、四面体は物体の微小なものであると考えれば、Δb≒0で物体力の項は消えてしまいます。
四面体を考える
以上のつり合い式を、x1,x3についても考えましょう。
x1,x3についてのつり合い式
ですね。以上のつり合い式に次式を代入します。
x1,x3についてのつり合い式2
すると、例えばx1方向のつり合い式は
x1方向のつり合い式
ですね。同様の計算をx2,x3について行うと(計算過程は省略します)、
コーシ―の関係x2,x3
です。以上の式をテンソル表示で纏めると、
コーシ―の関係
ですね。以上の式を「コーシ―の関係」といいます。このままでは、「式は理解出来たけど、コーシーの関係が何の役に立つの?」という理解だと思います。実はコーシ―の関係は、この次に勉強する「主応力」という概念を導出する際に必要となるものです。
ここでは、証明の方法や式を理解しておいてください。使い方の意味は後ほどわかるでしょう。

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