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コーシーの関係

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物体の中に微小な四面体を考えてみます。さらに、ΔABCの面積をΔS、その面の法線ベクトルnの成分を、それぞれn1,n2,n3とします。


また、x1,x2,x3方向に垂直な面の面積をΔS1, ΔS2,ΔS3とすると、法線の向きによってΔABCを表すことができますから、


ΔABCを表す


ですね。さらに、ΔABC面に作用している応力ベクトルは、前の章「応力テンソル」で習ったように


ΔABC面に作用している応力ベクトル


です。以上の関係を元に、x2方向の力のつり合いを考えましょう。「力」のつり合いですから、「応力」×「面積」とする必要がありますね。よって、


x2方向の力のつり合い


です。F2は物体力でこの四面体の物体力を考える場合、物体力は物体に作用しているものなので、「応力×体積」とする必要があります。


よって、Δb はO点からΔABCまでの垂線の長さですね。ここで、四面体は物体の微小なものであると考えれば、Δb≒0で物体力の項は消えてしまいます。


四面体を考える


以上のつり合い式を、x1,x3についても考えましょう。


x1,x3についてのつり合い式


ですね。以上のつり合い式に次式を代入します。


x1,x3についてのつり合い式2


すると、例えばx1方向のつり合い式は


x1方向のつり合い式


ですね。同様の計算をx2,x3について行うと(計算過程は省略します)、


コーシ―の関係x2,x3


です。以上の式をテンソル表示で纏めると、


コーシ―の関係


ですね。以上の式を「コーシ―の関係」といいます。


このままでは、「式は理解出来たけど、コーシーの関係が何の役に立つの?」という理解だと思います。実はコーシ―の関係は、この次に勉強する「主応力」という概念を導出する際に必要となるものです。


ここでは、証明の方法や式を理解しておいてください。使い方の意味は後ほどわかるでしょう。

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