コーシーの関係

物体の中に微小な四面体を考えてみます。さらに、ΔABCの面積をΔS、その面の法線ベクトルnの成分を、それぞれn1,n2,n3とします。

また、x1,x2,x3方向に垂直な面の面積をΔS1, ΔS2,ΔS3とすると、法線の向きによってΔABCを表すことができますから、

ですね。さらに、ΔABC面に作用している応力ベクトルは、前の章｢応力テンソル｣で習ったように

です。以上の関係を元に、x2方向の力のつり合いを考えましょう。｢力｣のつり合いですから、｢応力｣×｢面積｣とする必要がありますね。よって、

x2方向の力のつり合い

です。F2は物体力でこの四面体の物体力を考える場合、物体力は物体に作用しているものなので、｢応力×体積｣とする必要があります。

よって、Δb はO点からΔABCまでの垂線の長さですね。ここで、四面体は物体の微小なものであると考えれば、Δb≒0で物体力の項は消えてしまいます。

四面体を考える

以上のつり合い式を、x1,x3についても考えましょう。

x1,x3についてのつり合い式

ですね。以上のつり合い式に次式を代入します。

すると、例えばx1方向のつり合い式は

x1方向のつり合い式

ですね。同様の計算をx2,x3について行うと（計算過程は省略します）、

コーシ―の関係x2,x3

です。以上の式をテンソル表示で纏めると、

ですね。以上の式を｢コーシ―の関係｣といいます。

このままでは、｢式は理解出来たけど、コーシーの関係が何の役に立つの？｣という理解だと思います。実はコーシ―の関係は、この次に勉強する｢主応力｣という概念を導出する際に必要となるものです。

ここでは、証明の方法や式を理解しておいてください。使い方の意味は後ほどわかるでしょう。