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ひずみテンソル

ひずみテンソルを求める
まず、PQ間の長さに関して関係式をたててみましょう。前のページで、PQをdxiとおきました。よって、
PQ間の長さに関して関係式
です。同じくTR間も定義すると、
TR間の長さに関して関係式
となります。
ひずみの概念として、「変形した長さ÷もとの長さ」です。よって、まずは任意の物体に関する変形量を求めます。
クロネッカーのδを用いて下添え字をijと区別すると、以下のように式を整理できます。
任意の物体に関する変形量
また、以上の式を関連付けたので
任意の物体に関する変形量2
となります。擬標の扱いに慣れていない人は、急に添え字がkに替っていて戸惑うかもしれませんが、全く同じ式を変換しただけですね。良く見るとわかりますよ。
以上の式に関して次式を定義します。
任意の物体に関する変形量3
よって、ひずみの式は結局、
ひずみテンソル
です。これを「ひずみテンソル」といいます。

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さて、変位ベクトルと位置ベクトルの関係は以下のように、
変位ベクトルと位置ベクトルの関係
ですから、変位した後の位置ベクトルは変位ベクトルと元の位置ベクトルによって表すことが できます。
変位した後の位置ベクトルは変位ベクトルと元の位置ベクトルによって表す
よって、
クロネッカーのδと全く同じ式
さらに、以下の式はクロネッカーのδと全く同じ意味なので、

です。さて、以上を踏まえて歪テンソルの式をわかりやすく整理してみましょう。
歪テンソルの式をわかりやすく整理
ですね。また、テンソルの計算から
歪テンソルの式
ということがわかります。以上を整理すると、
歪テンソルの式(非線形の項はあり)
です。非線形の項は無視すると、
歪テンソルの式(非線形の項は無視)
となります。

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