工学ひずみとひずみテンソルの違い｜2次元問題で理解する弾性力学の基礎
この記事の要点
構造力学で「せん断ひずみγxy」と書いていた値が、弾性力学のテンソル表記では「εxy=γxy/2」になって混乱した経験がある。
工学ひずみとひずみテンソルは同じ変形を表しているのに、係数が違う。
この記事では工学ひずみとひずみテンソルの定義の違い・せん断成分の1/2係数の意味・2次元問題での対応を解説する。
軸変形では工学ひずみとひずみテンソルの値は一致するが、せん断変形では2倍の差があるため、フックの法則の適用時に混乱しないよう両者の定義の違いを正確に把握しておく必要がある。
【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒ 建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット
軸変形の場合
ひずみテンソルの工学的な意味を考えてみましょう。
ひずみテンソルの式は3次元ですが、簡単のために2次元の問題で考えます。下の図のように棒の変形を考えます。
例えば、σxの応力によってΔlだけ変形するとき変位は
です。以上のことから、テンソル表示を行っている変位u1を工学的に表してみましょう。長さや変位は1：1の関係で対応しているので、
ですね。今、x1軸方向の変位のみ考えているので、ひずみテンソルの式は
となります。一方、軸方向のひずみは｢変形した長さ÷もとの長さ｣ですので、上図より
です。以上のように、
同様の手順で、x2,x3方向について考えると、
となります。
せん断変形の場合
図に示すような物体が純せん断を受けている状態の変形を考えます。
ブロックがせん断力τ12を受けて微小な角θだけせん断変形した場合を考えます。ひずみテンソルの式から、
ですね。また、材料力学では以下のように工学ひずみを考えました。
角度が微小と考えれば以上の関係が成り立ち、
よって、
同様に他の軸についても考えると、
です。
混同しやすい用語
工学ひずみ（せん断） vs ひずみテンソル（せん断）
工学せん断ひずみγxyは変形角の和（∂u/∂y＋∂v/∂x）として定義され、実験や材料力学で広く使われる。
ひずみテンソルのせん断成分εxyに対してγxy/2であり、テンソルとして座標変換則に従うために係数1/2が必要となる点が異なる。
軸ひずみ vs せん断ひずみ
軸ひずみεxxは変位uのx方向偏微分（∂u/∂x）であり、工学ひずみとひずみテンソルで値が一致する。
せん断ひずみに対して工学表示とテンソル表示で2倍の差が生じるため、フックの法則適用時に注意が必要である。
工学ひずみの計算例
棒材に引張力が作用して変形した場合の工学ひずみを計算してみましょう。
| 条件 | 値 |
|---|---|
| 元の長さ L? | 100 mm |
| 変形後の長さ L | 100.2 mm |
| 伸び ΔL | 0.2 mm |
工学ひずみ ε = ΔL/L? = 0.2/100 = 0.002（= 2000με = 0.2%）
ひずみテンソル成分 ε?? = ∂u?/∂x? = ΔL/L? = 0.002（軸変形の場合は工学ひずみと一致）
工学ひずみとひずみテンソルの関係
| 成分 | 工学的表記 | テンソル表記 |
|---|---|---|
| 軸ひずみ（x方向） | εx = ∂u/∂x | ε?? = ∂u?/∂x? |
| せん断ひずみ | γxy = ∂u/∂y + ∂v/∂x | ε?? = (1/2)(∂u?/∂x? + ∂u?/∂x?) |
| 関係 | γxy = 2ε??（せん断成分はテンソルの2倍） | |
よくある誤解
- ×誤り：工学ひずみとひずみテンソルは同じ値を持つ
○正解：軸ひずみは同じですが、せん断成分は γxy = 2ε?? で工学ひずみはテンソル成分の2倍です - ×誤り：ひずみテンソルは対称ではない
○正解：ひずみテンソルは対称テンソル（ε?? = ε??）です
一問一答
Q1：元の長さ200mm の棒が201mmに伸びたとき、工学ひずみεは？
A1：ε = (201-200)/200 = 1/200 = 0.005（0.5%）
Q2：工学せん断ひずみ γxy = 0.004 のとき、ひずみテンソル成分 ε?? は？
A2：ε?? = γxy/2 = 0.004/2 = 0.002
【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒ 建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット
理解度チェック
工学ひずみとひずみテンソルは、軸変形とせん断変形でどう違いますか？
答えを見る
軸変形（垂直ひずみ）では工学ひずみとひずみテンソルの値は一致します（εxx＝∂u/∂x）。一方せん断変形では差が生じ、工学せん断ひずみγxy＝2εxy（テンソル成分の2倍）になります。
ひずみテンソルのせん断成分εxyに1/2の係数が付くのはなぜですか？
答えを見る
工学せん断ひずみγxy＝∂u/∂y＋∂v/∂xに対し、ひずみテンソルのせん断成分はεxy＝γxy/2と定義されます。テンソルとして座標変換則に従うために、この係数1/2が必要となります。
工学せん断ひずみγxy＝0.004のとき、ひずみテンソル成分εxyはいくつですか？
答えを見る
εxy＝γxy/2＝0.004/2＝0.002です。軸ひずみは工学ひずみとテンソルで一致しますが、せん断成分はこのように2倍の差がある点に注意します。
▼用語の意味知らなくて大丈夫？▼
▼同じカテゴリの記事一覧▼
- 変形とひずみの式
- ひずみテンソルとは？3次元ひずみの行列表現と有限要素法への応用
- ラグランジュひずみとオイラーひずみの関係
- 工学ひずみとひずみテンソルの違い｜2次元問題で理解する弾性力学の基礎
- ひずみの適合方程式とは？導出と連続性条件の意味
- 応力テンソル
- 応力の平衡方程式とは？意味・導出と有限要素法・弾性力学への応用（座標軸別の式）
- コーシーの関係とは？応力テンソルと表面力の関係式の意味
- 主応力とは｜コーシーの関係から主面・主軸と主応力を導出する
- せん断ひずみと理論式の算定
▼カテゴリ一覧▼
- 応力とひずみ(まずは、弾性と塑性の性質についてから)
- テンソルの計算(まずは、総和規約とはから)
- 弾性材料とは？フックの法則（σ=Eε）・線形弾性体と弾性材料の分類
- 応力テンソル(まずは、応力テンソルから)
- ひずみテンソル(まずは、変形とひずみの式から)
- 2次元問題(まずは、平面応力状態と平面ひずみ状態から)
- 平板理論(まずは、キルヒホッフの仮説とは何か？から)
▼他の勉強がしたい方はこちら▼
わかる1級建築士の計算問題解説書
わかる2級建築士の計算問題解説書！
【30%OFF】一級建築士対策も◎！構造がわかるお得な用語集
プロフィール
- 略歴▼
- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
- 「わかる構造力学(改訂版)」
- 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。
- 当サイトの目的▼
- 建築学生が学ぶ「構造力学」の目的
- とりあえず10記事▼
- 初めましての方に10記事用意しました
- おすすめ書籍紹介▼
- 構造力学・建築構造のおすすめ本｜現役設計者が読んで良かった書籍を紹介
建築の本、紹介します。▼
同じカテゴリの記事一覧
- HOME > 材料力学の基礎 > 工学ひずみとひずみテンソル
- 1級の過去問(計算)解説
- わかる建築構造の用語集・図解集
- 1頁10円！PDF版の学習記事
