工学ひずみとひずみテンソル

この記事の要点

工学ひずみγxyは変形角の和（∂u/∂y＋∂v/∂x）で定義されるのに対し、ひずみテンソルのせん断成分εxyはその半分（γxy/2）であり、テンソル変換則を満たすために係数1/2が必要となる。

軸変形では工学ひずみとひずみテンソルの値は一致するが、せん断変形では2倍の差があるため、フックの法則の適用時に混乱しないよう両者の定義の違いを正確に把握しておく必要がある。

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軸変形の場合

ひずみテンソルの工学的な意味を考えてみましょう。

ひずみテンソルの式は3次元ですが、簡単のために2次元の問題で考えます。下の図のように棒の変形を考えます。

軸変形

例えば、σxの応力によってΔlだけ変形するとき変位は

です。以上のことから、テンソル表示を行っている変位u1を工学的に表してみましょう。長さや変位は1：1の関係で対応しているので、

テンソル表示を行っている変位u1を工学的に表す

ですね。今、x1軸方向の変位のみ考えているので、ひずみテンソルの式は

x1軸方向のひずみテンソル

となります。一方、軸方向のひずみは｢変形した長さ÷もとの長さ｣ですので、上図より

変形した長さ÷もとの長さ

です。以上のように、

変形した長さ÷もとの長さ２

同様の手順で、x2,x3方向について考えると、

x2,x3方向の軸方向

となります。

せん断変形の場合

図に示すような物体が純せん断を受けている状態の変形を考えます。

純せん断を受けている状態の変形

ブロックがせん断力τ12を受けて微小な角θだけせん断変形した場合を考えます。ひずみテンソルの式から、

微小な角θだけせん断変形した場合

ですね。また、材料力学では以下のように工学ひずみを考えました。

角度が微小と考えれば以上の関係が成り立ち、

よって、

同様に他の軸についても考えると、

他の軸についても考える

です。

混同しやすい用語

工学ひずみ（せん断） vs ひずみテンソル（せん断）

工学せん断ひずみγxyは変形角の和（∂u/∂y＋∂v/∂x）として定義され、実験や材料力学で広く使われる。

ひずみテンソルのせん断成分εxyに対してγxy/2であり、テンソルとして座標変換則に従うために係数1/2が必要となる点が異なる。

軸ひずみ vs せん断ひずみ

軸ひずみεxxは変位uのx方向偏微分（∂u/∂x）であり、工学ひずみとひずみテンソルで値が一致する。

せん断ひずみに対して工学表示とテンソル表示で2倍の差が生じるため、フックの法則適用時に注意が必要である。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験ではせん断ひずみと横弾性係数Gの関係（τ=Gγ）が問われることが多く、工学ひずみの定義を正確に理解していることが解答の前提となる。

ひずみテンソルの係数1/2の意味をきちんと押さえておくと、有限要素法のBマトリクス導出など応用分野でも迷わず計算できるようになる。

工学ひずみの計算例

棒材に引張力が作用して変形した場合の工学ひずみを計算してみましょう。

条件	値
元の長さ L?	100 mm
変形後の長さ L	100.2 mm
伸び ΔL	0.2 mm

工学ひずみ ε = ΔL/L? = 0.2/100 = 0.002（= 2000με = 0.2%）

ひずみテンソル成分 ε?? = ∂u?/∂x? = ΔL/L? = 0.002（軸変形の場合は工学ひずみと一致）