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工学ひずみとひずみテンソル

・軸変形の場合
ひずみテンソルの工学的な意味を考えてみましょう。ひずみテンソルの式は3次元ですが、簡単のために2次元の問題で考えます。下の図のように棒の変形を考えます。
軸変形
例えば、σxの応力によってΔlだけ変形するとき変位は
σxの応力によってΔlだけ変形するとき変位
です。
以上のことから、テンソル表示を行っている変位u1を工学的に
表してみましょう。長さや変位は1:1の関係で対応しているので、
テンソル表示を行っている変位u1を工学的に表す
ですね。今、x1軸方向の変位のみ考えているので、ひずみテンソルの式は
x1軸方向のひずみテンソル
となります。
一方、材料力学やこのサイトでも紹介したように、軸方向のひずみは
「変形した長さ÷もとの長さ」ですので上図より
変形した長さ÷もとの長さ
です。以上のように、
変形した長さ÷もとの長さ2
同様の手順で、x2,x3方向について考えると、
x2,x3方向の軸方向
となります。

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・せん断変形の場合
図に示すような物体が純せん断を受けている状態の変形を考えます。
純せん断を受けている状態の変形
ブロックがせん断力τ12を受けて微小な角θだけせん断変形した場合を考えます。
ひずみテンソルの式から、
微小な角θだけせん断変形した場合
ですね。
また、材料力学では以下のように工学ひずみを考えました。
工学ひずみ
角度が微小と考えれば以上の関係が成り立ち、
工学ひずみの関係
よって、
工学ひずみの関係2
同様に他の軸についても考えると、
他の軸についても考える
です。

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