ラグランジュひずみとオイラーひずみの関係

さて、次のように2乗の変化を変化前の座標で表した式から、ひずみテンソルの式を導きました。

ラグランジュのひずみテンソル

以上のように定義される歪テンソルの式を｢ラグランジュのひずみテンソル｣といいます。一方、変形後の座標で表したものをオイラーの歪テンソルといいます。

この２つの式に付いて関係性を確認してみましょう。

以前｢ひずみテンソルについて｣で求めた式は上記に示すように、｢変形前の座標で表した｣ものです。

よって、まずは｢変化後の座標で｣ひずみテンソルの式（オイラーのひずみテンソル）を表してみましょう。

変化前の座標で定義

と変化前の座標で定義すれば、歪テンソルの式は

変化前の座標で定義した歪テンソル

となります。擬標の扱いに慣れていない人は、急に添え字がkに替っていて戸惑うかもしれませんが、全く同じ式を変換しただけですね。良く見るとわかりますよ。以上の式に関して次式を定義します。

歪テンソル

よって、ひずみの式は結局、

ひずみの式

ですね。

ここで、計算を整理すると（｢歪テンソル｣で示したものと同様の計算過程なので省きます）

ひずみの式を整理する

さらに、微小変形理論から非線形項は無視すると、

非線形項は無視

とすれば、

ラグランジュの歪テンソル

です。以上のように、ラグランジュのひずみとオイラーのひずみの差は、微小変形理論を用いると、無くりなりましたね。

要するに、変形後の座標で表したものが｢ラグランジュの歪テンソル｣変形前の座標で表したものが｢オイラーの歪テンソル｣です。微小変形理論を用いると、両者の差はなくなるよという証明です。