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ラグランジュひずみとオイラーひずみの関係

さて、次のように2乗の変化を変化前の座標で表した式から、ひずみテンソルの式を導きました。
ラグランジュのひずみテンソル
以上のように定義される歪テンソルの式を「ラグランジュのひずみテンソル」といいます。 一方、変形後の座標で表したものをオイラーの歪テンソルといいます。 この2つの式に付いて関係性を確認してみましょう。

以前「ひずみテンソルについて」で求めた式は上記に示すように、「変形前の座標で表した」ものです。 よって、まずは「変化後の座標で」ひずみテンソルの式(オイラーのひずみテンソル)を表してみましょう。 前に行った証明と似たものですから、なんてことはありませんね。
変化前の座標で定義
と変化前の座標で定義すれば、歪テンソルの式は
変化前の座標で定義した歪テンソル
となります。擬標の扱いに慣れていない人は、急に添え字がkに替っていて戸惑うかもしれませんが、全く同じ式を変換しただけですね。良く見るとわかりますよ。 以上の式に関して次式を定義します。
歪テンソル
よって、ひずみの式は結局、
ひずみの式
ですね。

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ここで、計算を整理すると(「歪テンソル」で示したものと同様の計算過程なので省きます)
ひずみの式を整理する
さらに、微小変形理論から非線形項は無視すると、
非線形項は無視
とすれば、
ラグランジュの歪テンソル
です。以上のように、ラグランジュのひずみとオイラーのひずみの差は、微小変形理論を用いると、無くりなりましたね。

要するに、変形後の座標で表したものが「ラグランジュの歪テンソル」変形前の座標で表したものが「オイラーの歪テンソル」です。で、微小変形理論を用いると、両者の差はなくなるよという証明です。簡単すぎましたかね?

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