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ひずみの適合方程式と理論式の導出

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ひずみ-変位関係を考えます。


ひずみ-変位関係


以上のような式でしたね。


6個のひずみ成分εijが与えられたとき、3個の変位uiを求めることを考えます。


ひずみ変位関係の式は3個の未知数に関する6個の方程式を表していますので、これらから3個の方程式を求めるためには、適合方程式が満足しなければなりません。


例えば、以下のような式を考えてみましょう。


ひずみの適合方程式


以上の式は、一つの変位に対してk(x,y)、r(x,y)という2つの方程式を含んでいます。以上の微分方程式を解いて、uが定まるためには、


微分方程式を解く


のような適合方程式が成立しなければなりませんね。


さて、歪テンソルの式に対して適合方程式を満足させましょう。つまり、以下の式を2階微分します。


注意しないといけないのは、ひずみが2階のテンソルのため、それを偏微分するとき、さらにklという添字を考える必要があります。


Ijklの偏微分の組み合わせを考えると


偏微分の組み合わせ


です。


このとき、uが定まるためには、偏微分の順序を入れ替えても等しくなります。よって、


偏微分の順序を入れ替えても等しくなる


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以上の式は、ijklの組み合わせで変わるものですから深く考えないように、要するに偏微分の式が等しくなることを表しています。


偏微分の式が等しくなる


です。以上の式で添え字の組み合わせから、6個の方程式が成り立ちます。それぞれの組み合わせを考えてみましょう。


(1)i=j,k=l(i=j=1,k=l=2)の場合


i=j,k=l(i=j=1,k=l=2)の場合


さて、ひずみテンソルと工学ひずみの関係から、


ひずみテンソルと工学ひずみの関係


でしたね。


ひずみテンソルと工学ひずみの関係2


と書き換えることもできます。


同様に(i=j=2,k=l=3)、(i=j=3,k=l=1)


テンソルの問題を解く


が成立します。


(2)i=j,k,l(i=j=1,k=2,l=3)


テンソルの問題を解く2


が成立します。


テンソルの問題を解く3


同様に(i=j=2,k=3,l=1)、(i=j=3,k=1,l=2)


テンソルの問題を解く4


(3)i=j=k=l(i=j=k=l=1)の場合


テンソルの問題を解く5


(4)i=j=k,l(i=j=k=1,l=2)の場合


テンソルの問題を解く6


以上の式を纏めてみましょう。


ひずみの適合方程式


となり、以上がひずみの適合方程式となります。


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