1. HOME > 材料力学の基礎 > ひずみの適合方程式と理論式の導出

ひずみの適合方程式と理論式の導出

ひずみ−変位関係を考えます。
ひずみ−変位関係
以上のような式でしたね。
6個のひずみ成分εijが与えられたとき、3個の変位uiを求めることを考えます。 ひずみ変位関係の式は3個の未知数に関する6個の方程式を表していますので、これらから 3個の方程式を求めるためには、適合方程式が満足しなければなりません。 例えば、以下のような式を考えてみましょう。
ひずみの適合方程式
以上の式は、一つの変位に対してk(x,y)、r(x,y)という2つの方程式を含んでいます。以上の 微分方程式を解いて、uが定まるためには、
微分方程式を解く
のような適合方程式が成立しなければなりませんね。

さて、歪テンソルの式に対して適合方程式を満足させましょう。つまり、以下の式を2階微分します。 注意しないといけないのは、ひずみが2階のテンソルのため、それを偏微分するとき、さらにklという添字を考える必要があります。 Ijklの偏微分の組み合わせを考えると
偏微分の組み合わせ
です。
このとき、uが定まるためには、偏微分の順序を入れ替えても等しくなります。 よって、
偏微分の順序を入れ替えても等しくなる

スポンサーリンク
 
以上の式は、ijklの組み合わせで変わるものですから深く考えないように、 要するに偏微分の式が等しくなることを表しています。
偏微分の式が等しくなる
です。以上の式で添え字の組み合わせから、6個の方程式が成り立ちます。 それぞれの組み合わせを考えてみましょう。

(1)i=j,k=l(i=j=1,k=l=2)の場合
i=j,k=l(i=j=1,k=l=2)の場合
さて、ひずみテンソルと工学ひずみの関係から、
ひずみテンソルと工学ひずみの関係
でしたね。
ひずみテンソルと工学ひずみの関係2
と書き換えることもできます。 同様に(i=j=2,k=l=3)、(i=j=3,k=l=1)
テンソルの問題を解く
が成立します。

(2)i=j,k,l(i=j=1,k=2,l=3)
テンソルの問題を解く2
が成立します。
テンソルの問題を解く3
同様に(i=j=2,k=3,l=1)、(i=j=3,k=1,l=2)
テンソルの問題を解く4

(3)i=j=k=l(i=j=k=l=1)の場合
テンソルの問題を解く5
(4)i=j=k,l(i=j=k=1,l=2)の場合
テンソルの問題を解く6
以上の式を纏めてみましょう。
ひずみの適合方程式
となり、以上がひずみの適合方程式となります。

▼この記事を今すぐSNSでシェアする▼


▼こちらも人気の記事です▼

▼人気の記事ベスト3▼

▼いつでも構造力学の問題が解ける!▼

構造ウェブ問題集

▼同じカテゴリの記事一覧▼

▼カテゴリ一覧▼

▼他の勉強がしたい方はこちら▼

スポンサーリンク

検索

カスタム検索

プロフィール

おすすめ特集

note始めました 構造ウェブ問題集

人気の記事ベスト3

建築の本、紹介します。▼

すぐにわかる構造力学の本

同じカテゴリの記事一覧

  1. HOME > 材料力学の基礎 > ひずみの適合方程式と理論式の導出