ひずみの適合方程式と理論式の導出
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ひずみ－変位関係を考えます。
以上のような式でしたね。
6個のひずみ成分εijが与えられたとき、3個の変位uiを求めることを考えます。
ひずみ変位関係の式は3個の未知数に関する6個の方程式を表していますので、これらから３個の方程式を求めるためには、適合方程式が満足しなければなりません。
例えば、以下のような式を考えてみましょう。
以上の式は、一つの変位に対してk(x,y)、r(x,y)という2つの方程式を含んでいます。以上の微分方程式を解いて、uが定まるためには、
のような適合方程式が成立しなければなりませんね。
さて、歪テンソルの式に対して適合方程式を満足させましょう。つまり、以下の式を2階微分します。
注意しないといけないのは、ひずみが2階のテンソルのため、それを偏微分するとき、さらにklという添字を考える必要があります。
Ijklの偏微分の組み合わせを考えると
です。
このとき、uが定まるためには、偏微分の順序を入れ替えても等しくなります。よって、
以上の式は、ijklの組み合わせで変わるものですから深く考えないように、要するに偏微分の式が等しくなることを表しています。
です。以上の式で添え字の組み合わせから、６個の方程式が成り立ちます。それぞれの組み合わせを考えてみましょう。
（１）i=j,k=l（i=j=1,k=l=2）の場合
さて、ひずみテンソルと工学ひずみの関係から、
でしたね。
と書き換えることもできます。
同様に（i=j=2,k=l=3）、（i=j=3,k=l=1）
が成立します。
（２）i=j,k,l（i=j=1,k=2,l=3）
が成立します。
同様に（i=j=2,k=3,l=1）、（i=j=3,k=1,l=2）
（３）i=j=k=l（i=j=k=l=1）の場合
（４）i=j=k,l（i=j=k=1,l=2）の場合
以上の式を纏めてみましょう。
となり、以上がひずみの適合方程式となります。
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