重ね合わせの原理とは？1分でわかる意味、不静定梁の解き方、たわみ

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重ね合わせの原理とは、２つ以上の入力に対する応答が、１つ毎の入力に対する応答の総和に等しいことです。重ね合わせの原理を利用すると、応力や変位の計算が簡単になります。今回は重ね合わせの原理の意味、不静定梁の解き方、たわみの計算法について説明します。なお、重ね合わせの原理を利用した、不静定梁の解き方は下記が参考になります。

不静定連続梁の解法

不静定梁とは？1分でわかる意味、解き方、重ね合わせの原理、例題

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学改訂版/工学社」

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重ね合わせの原理とは？

重ね合わせの原理とは、

2つ以上の入力に対する応答が、１つ毎の入力に対する応答の総和で表せること

です。

構造力学に限らず、物理、工学の分野で利用されます。下図をみてください。梁に集中荷重と等分布荷重が作用しています。

重ね合わせの原理と梁の関係

※集中荷重、等分布荷重の意味は下記をご覧ください。

等分布荷重とは？集中荷重との違いや使い方について

２つの荷重が、同時に梁へ作用しています。この梁に作用する最大曲げモーメントは、

集中荷重時の曲げモーメント+等分布荷重時の曲げモーメント

です。２つの荷重が同時に作用しても、１つ毎の荷重条件に分解した結果を足し合わせ、解を得ることができます。

重ね合わせの原理と梁の関係2

これが、重ね合わせの原理です。

ただし、重ね合わせの原理は、「線形」な関係の解析に限ります。下図を見てください。縦軸が荷重、横軸が変形です。左図は、荷重変位関係が比例関係です。右図は、不規則な関係です。

重ね合わせの原理と線形システム

比例関係のとき、Ｃ点の変位は、１つ毎の荷重に対する変位の総和を合計すれば良いです。不規則な関係だと、重ね合わせた結果が、Ｃ点の変位になるとは限りません。

重ね合わせの原理と不静定梁の解き方

重ね合わせの原理を利用すると、不静定梁が簡単に解けます。特に、不静定次数が１程度の梁で簡単に使えます。詳細は下記をご覧ください。

不静定連続梁の解法

重ね合わせの原理とたわみ

重ね合わせの原理を使えば、２つ以上の荷重が作用する梁のたわみも簡単に計算できます。

荷重Ｐ1、Ｐ2、Ｐ3が同時に作用する梁があります。この梁の最大たわみは、荷重ごとに対するたわみを計算し、合計すれば良いです。結果は、

δ＝δ１+δ2+δ3

です。

まとめ

今回は重ね合わせの原理の意味を説明しました。意味が理解頂けたと思います。重ね合わせの原理は、色々な荷重が作用するとき、応力やたわみを計算する効果的な方法です。実務でも、重ね合わせの原理を利用して、応力解析を行います。固定法や、たわみ角法を使わなくても、不静定梁を解くことが可能です。下記も併せて参考にしてくださいね。

不静定連続梁の解法

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