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重ね合わせの原理とは?1分でわかる意味、不静定梁の解き方、たわみ

重ね合わせの原理とは、2つ以上の入力に対する応答が、1つ毎の入力に対する応答の総和に等しいことです。重ね合わせの原理を利用すると、応力や変位の計算が簡単になります。今回は重ね合わせの原理の意味、不静定梁の解き方、たわみの計算法について説明します。なお、重ね合わせの原理を利用した、不静定梁の解き方は下記の記事が参考になります。

不静定連続梁の解法

重ね合わせの原理とは?

重ね合わせの原理とは、

です。


構造力学に限らず、物理、工学の分野で利用されます。下図をみてください。梁に集中荷重と等分布荷重が作用しています。

重ね合わせの原理と梁の関係

2つの荷重が、同時に梁へ作用しています。この梁に作用する最大曲げモーメントは、

です。2つの荷重が同時に作用しても、1つ毎の荷重条件に分解した結果を足し合わせ、解を得ることができます。

重ね合わせの原理と梁の関係2

これが、重ね合わせの原理です。


ただし、重ね合わせの原理は、「線形」な関係の解析に限ります。下図を見てください。縦軸が荷重、横軸が変形です。左図は、荷重変位関係が比例関係です。右図は、不規則な関係です。

重ね合わせの原理と線形システム

比例関係のとき、C点の変位は、1つ毎の荷重に対する変位の総和を合計すれば良いです。不規則な関係だと、重ね合わせた結果が、C点の変位になるとは限りません。

重ね合わせの原理と不静定梁の解き方

重ね合わせの原理を利用すると、不静定梁が簡単に解けます。特に、不静定次数が1程度の梁で簡単に使えます。下記の記事が参考になります。

不静定連続梁の解法

重ね合わせの原理とたわみ

重ね合わせの原理を使えば、2つ以上の荷重が作用する梁のたわみも簡単に計算できます。


荷重P1、P2、P3が同時に作用する梁があります。この梁の最大たわみは、荷重ごとに対するたわみを計算し、合計すれば良いです。結果は、

です。

まとめ

今回は重ね合わせの原理の意味を説明しました。意味が理解頂けたと思います。重ね合わせの原理は、色々な荷重が作用するとき、応力やたわみを計算する効果的な方法です。実務でも、重ね合わせの原理を利用して、応力解析を行います。固定法や、たわみ角法を使わなくても、不静定梁を解くことが可能です。下記の記事も併せて参考にしてくださいね。

不静定連続梁の解法

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