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円の方程式とは?3分でわかる意味、公式、半径との関係

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円の方程式(えんのほうていしき)とは、円周上における座標(x,y)と半径rの関係を表した式です。座標の原点を中心とする円の方程式はx2+y2=r2です。円の方程式はピタゴラスの定理で求められます。また円の中心が原点から離れた場合の方程式は「(x-a)2+(y-b)2=r2」です。今回は円の方程式の意味、公式、半径との関係について説明します。ピタゴラスの定理、半径の詳細は下記が参考になります。

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円の方程式とは?

円の方程式(えんのほうていしき)とは、円周上における座標(x,y)と半径rの関係を表した式です。座標の原点を中心とする円の方程式を下記に示します。


座標の原点を中心とする円 x2+y2=r2


一見、不思議な式に思えるのですが、下図をみれば理解できます。原点を中心とする円の半径をr、円周上のある点Aの座標を(x,y)とします。


図 円の方程式


原点の座標は(0,0)ですから、原点から点Aまでのx軸方向の距離はx、y軸方向の距離はyです。3つの辺の長さx,y,半径rは、直角三角形を構成します。


図 円の方程式の証明


直角三角形の辺の長さはピタゴラスの定理より「斜辺の二乗=底辺の二乗+高さの二乗」です。以上より前述の式が導けます。ピタゴラスの定理は下記が参考になります。

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円の方程式の公式、半径の関係

円の方程式の公式を下記に示します。座標の原点を中心とする円、原点から離れる円で公式が変わります。


円の方程式の公式、半径の関係1


円の中心が(a,b)にある場合、円の方程式の公式が少し変わります。ただ考え方は同じです。


円の半径、直角三角形の底辺、高さの関係を示せばよいのです。下図をみてください。円の中につくる直角三角形の底辺は(x-a)、高さは(y-b)です。半径はrなので前述の公式が導けます。


図 円の方程式の公式、半径


円の方程式の公式、半径との関係は下記も参考になります。

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まとめ

今回は円の方程式について説明しました。円の方程式とは、円周上の座標と半径の関係を表した式です。原点を円の中心とする方程式は、x2+y2=r2です。難しそうな式に思えるかもしれませんが、ピタゴラスの定理によるものです。下記も併せて勉強しましょう。

ピタゴラスの定理とは?1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い

円の方程式の公式は?3分でわかる意味、求め方、証明、3点を通る円の方程式

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