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円の方程式とは？3分でわかる意味、公式、半径との関係

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円の方程式（えんのほうていしき）とは、円周上における座標（x,y）と半径rの関係を表した式です。座標の原点を中心とする円の方程式はx2+y2=r2です。円の方程式はピタゴラスの定理で求められます。また円の中心が原点から離れた場合の方程式は「(x－a)2+(y－b)2=r2」です。今回は円の方程式の意味、公式、半径との関係について説明します。ピタゴラスの定理、半径の詳細は下記が参考になります。

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円の方程式とは？

円の方程式（えんのほうていしき）とは、円周上における座標(x,y)と半径rの関係を表した式です。座標の原点を中心とする円の方程式を下記に示します。


座標の原点を中心とする円　x2+y2=r2


一見、不思議な式に思えるのですが、下図をみれば理解できます。原点を中心とする円の半径をr、円周上のある点Aの座標を（x,y）とします。


図　円の方程式


原点の座標は（0,0）ですから、原点から点Aまでのｘ軸方向の距離はｘ、ｙ軸方向の距離はｙです。３つの辺の長さｘ,ｙ,半径rは、直角三角形を構成します。


図　円の方程式の証明


直角三角形の辺の長さはピタゴラスの定理より「斜辺の二乗＝底辺の二乗+高さの二乗」です。以上より前述の式が導けます。ピタゴラスの定理は下記が参考になります。

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円の方程式の公式、半径の関係

円の方程式の公式を下記に示します。座標の原点を中心とする円、原点から離れる円で公式が変わります。


円の方程式の公式、半径の関係1


円の中心が（a,b）にある場合、円の方程式の公式が少し変わります。ただ考え方は同じです。


円の半径、直角三角形の底辺、高さの関係を示せばよいのです。下図をみてください。円の中につくる直角三角形の底辺は（x－a）、高さは（y－b）です。半径はrなので前述の公式が導けます。


図　円の方程式の公式、半径


円の方程式の公式、半径との関係は下記も参考になります。

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まとめ

今回は円の方程式について説明しました。円の方程式とは、円周上の座標と半径の関係を表した式です。原点を円の中心とする方程式は、x2+y2=r2です。難しそうな式に思えるかもしれませんが、ピタゴラスの定理によるものです。下記も併せて勉強しましょう。

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