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円の方程式の公式は?3分でわかる意味、求め方、証明、3点を通る円の方程式

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円の方程式の公式は(x-a)2+(y-b)2=r2です。x,yは円周上にある点の座標、a,bは原点Oから円の中心までのxとy軸方向の距離、rは半径です。なお円の中心が座標の原点にあるときa=b=0です。よって円の方程式の公式はx2+y2=r2になります。今回は円の方程式の公式、意味、求め方と証明、3点を通る場合の円の方程式について説明します。円の方程式の意味は下記も参考になります。

円の方程式とは?3分でわかる意味、公式、半径との関係

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円の方程式の公式は?

円の方程式の公式を下記に示します。


円の方程式の公式


上記の通り円の方程式の公式は2通りあります。下図をみてください。原点から円の中心までx軸方向にa、y軸方向にb離れる場合の円を示しました。


図 円の方程式の公式、半径


原点を中心とする円を下図に示します。


図 円の方程式の証明


円の中心が原点にあるときa=b=0になるので


原点から(a,b)離れる円 x2+y2=r2


になります。円の方程式の詳細は下記も参考になります。

円の方程式とは?3分でわかる意味、公式、半径との関係

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円の方程式の証明

前述した円の方程式の公式を証明します。下図をみてください。円周上のA点の座標を(x,y)、円の中心は原点から(a,b)離れる考えます。


図 円の方程式の公式の証明


このとき原点、A点、B点で構成される直角三角形を考えると、底辺の長さが(x-a)、高さが(y-b)、斜辺(半径)がrとなります。


直角三角形の辺の長さはピタゴラスの定理が適用できるので


円の方程式の証明


が証明できます。ピタゴラスの定理の詳細は下記をご覧ください。

ピタゴラスの定理とは?1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い

3点を通る円の方程式の求め方

円の方程式を展開すると下式になります。


3点を通る円の方程式の求め方1


aやb、rは定数です。よって下記の文字に置き換えます。


3点を通る円の方程式の求め方2


上記の定数A~Cを算定すれば円の方程式が導けるのです。上記の方程式をみると定数は3通りあります。


つまり円周上の点が3つ既知であれば、連立方程式をたてA~Cが算定できます。

まとめ

今回は円の方程式の公式について説明しました。円の方程式の公式は「(x-a)2+(y-b)2=r2」です。円の中に直角三角形をつくり、底辺と高さ、斜辺(半径)の関係をピタゴラスの定理に当てはめれば証明できます。円の方程式、ピタゴラスの定理など下記も勉強しましょうね。

円の方程式と半径の関係は?1分でわかる意味と関係、求め方、公式と変形式

ピタゴラスの定理とは?1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い

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