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円の方程式の公式は？3分でわかる意味、求め方、証明、３点を通る円の方程式

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円の方程式の公式は(x－a)2+(y－b)2=r2です。x,yは円周上にある点の座標、a,bは原点Oから円の中心までのｘとｙ軸方向の距離、ｒは半径です。なお円の中心が座標の原点にあるときa=b=0です。よって円の方程式の公式はx2+y2=r2になります。今回は円の方程式の公式、意味、求め方と証明、３点を通る場合の円の方程式について説明します。円の方程式の意味は下記も参考になります。

円の方程式とは？3分でわかる意味、公式、半径との関係

ピタゴラスの定理とは？1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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円の方程式の公式は？

円の方程式の公式を下記に示します。


円の方程式の公式


上記の通り円の方程式の公式は２通りあります。下図をみてください。原点から円の中心までｘ軸方向にa、ｙ軸方向にb離れる場合の円を示しました。


図　円の方程式の公式、半径


原点を中心とする円を下図に示します。


図　円の方程式の証明


円の中心が原点にあるときa=b=0になるので


原点から(a,b)離れる円　x2+y2=r2


になります。円の方程式の詳細は下記も参考になります。

円の方程式とは？3分でわかる意味、公式、半径との関係

円の方程式の証明

前述した円の方程式の公式を証明します。下図をみてください。円周上のA点の座標を（x,y）、円の中心は原点から（a,b）離れる考えます。


図　円の方程式の公式の証明


このとき原点、A点、B点で構成される直角三角形を考えると、底辺の長さが（x－a）、高さが（y－b）、斜辺（半径）がｒとなります。


直角三角形の辺の長さはピタゴラスの定理が適用できるので


円の方程式の証明


が証明できます。ピタゴラスの定理の詳細は下記をご覧ください。

ピタゴラスの定理とは？1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い

３点を通る円の方程式の求め方

円の方程式を展開すると下式になります。


３点を通る円の方程式の求め方1


aやb、rは定数です。よって下記の文字に置き換えます。


３点を通る円の方程式の求め方2


上記の定数A～Cを算定すれば円の方程式が導けるのです。上記の方程式をみると定数は３通りあります。


つまり円周上の点が３つ既知であれば、連立方程式をたてA～Cが算定できます。

まとめ

今回は円の方程式の公式について説明しました。円の方程式の公式は「(x－a)2+(y－b)2=r2」です。円の中に直角三角形をつくり、底辺と高さ、斜辺（半径）の関係をピタゴラスの定理に当てはめれば証明できます。円の方程式、ピタゴラスの定理など下記も勉強しましょうね。

円の方程式と半径の関係は？1分でわかる意味と関係、求め方、公式と変形式

ピタゴラスの定理とは？1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い

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