三角関数の加法定理とは？3分でわかる意味、公式、応用と二倍角の公式

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三角関数の加法定理（かほうていり）とはsin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβなどの公式です。α、βという異なる角度の合成に関する三角関数です。例えばsin(30+30)= sin30cos30+cos30sin30=1/2×√3/2+√3/2×1/2＝√3/2のように加法定理が成立します。今回は三角関数の加法定理の意味、公式、応用と二倍角の公式について説明します。三角関数、加法定理の証明については下記が参考になります。

三角関数とは？1分でわかる意味、公式と計算、角度と値の関係

加法定理の証明は？【近日公開予定】

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三角関数の加法定理とは？公式

三角関数の加法定理（かほうていり）の公式を下記に示します。±の関係に注意してください。なお符号は複合同順（ふくごうどうじゅん）です。複合同順の詳細は下記が参考になります。

複号とは？１分でわかる意味、複号同順、複号任意の関係

三角関数の加法定理とは？公式1

加法定理を使えば、異なる角度を合成した三角関数を求めることができます。例えばsin(30+45)＝sin30cos45+ cos30 sin45で算定できます。sin(75)を求める難しそうですが、よく使うsin30、sin45、cos30、cos45の組み合わせを計算するのは簡単ですね。

加法定理はsinだけでなくcosやtanでも成り立ちます。α＝β＝30°のときsin(α＋β)が加法定理で解けるか確認します。

三角関数の加法定理とは？公式2

上記のようにsin(30+30)の結果とsin60の結果は一致しましたね。全ての角度で加法定理が成立するかは、加法定理の証明をご覧ください。下記が参考になります。

加法定理の証明は？【近日公開予定】

加法定理の応用と二倍角の公式

前述した加法定理を応用して「二倍角の公式」が導けます。α＝βのときsin(α+β)= sin(α+α) = sin(2α)＝sinαcosα+cosαsinα＝2 sinαcosαです。cos2α、tan２αの公式を下記に示します。

加法定理の応用と二倍角の公式1

二倍角の公式の詳細、証明は下記をご覧ください。

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2倍角の公式の証明方法は？3分でわかる証明、問題の解き方

まとめ

今回は三角関数の加法定理について説明しました。加法定理とはsin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβなどの公式です。異なる角度α、βを合成した三角関数を算定できます。α＝30、β＝45°のようによく使う角度を代入して、等式が成り立つかどうか確認しましょう。応用として二倍角の公式があります。下記も併せて勉強しましょうね。

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