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2倍角の公式とは?1分でわかる意味、求め方、問題、倍角の意味、証明

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2倍角の公式(にばいかくのこうしき)とは、加法定理においてβ=αのときに成り立つ等式です。sin2α=2sinαcosαです。三角関数の加法定理はsin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβです。よってβ=αを代入すれば二倍角の公式が得られます。今回は2倍角の公式の意味、求め方、問題、倍角の意味、2倍角の公式の証明について説明します。2倍角の公式の証明、加法定理は下記が参考になります。

2倍角の公式の証明方法は?3分でわかる証明、問題の解き方

三角関数の加法定理とは?3分でわかる意味、公式、応用と二倍角の公式

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2倍角の公式とは?求め方と公式

2倍角の公式(にばいかくのこうしき)とは加法定理においてβ=αのときに成立する等式です。2倍角の公式を下記に示します。


2倍角の公式とは?求め方と公式1


例えばα=45°のときsin2αを計算します。


2倍角の公式とは?求め方と公式2


上記の通り2倍角の公式が成立することを確認しました。2倍角の公式は加法定理を応用した式です。加法定理の一部を下記に示します。


2倍角の公式とは?求め方と公式3


上式のβ=αのときsin2αになりますね。加法定理の詳細は下記をご覧ください。

三角関数の加法定理とは?3分でわかる意味、公式、応用と二倍角の公式

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2倍角の公式の問題

sinα=1/3のとき、sin2αを求めてください。sin2α=2sinαcosαです。よってcosαの値を求める必要があります。前述したように2倍角の公式は


2倍角の公式の問題1


です。上式を変形すると


2倍角の公式の問題2


となります。sinα=1/3と分かっているので


2倍角の公式の問題3


です。よって


2倍角の公式の問題4


となります。sinθ、cosθの計算が慣れない方は下記をご覧ください。

sin45度の値は?1分でわかる分数の値、求め方、cos45との違い、2分のルート2の関係

cos30度の値は?1分でわかる分数、小数の値、求め方、cos45度、sin60度の値

倍角とは?2倍角との違い

倍角(ばいかく)とは、ある角を2倍したものです。2倍角(にばいかく)ともいいます。倍角=2倍角と考えてください。

2倍角の公式の証明

2倍角の公式は加法定理の公式について、β=αとすることで証明できます。sin2αを下記に証明しました。


2倍角の公式の証明1


上記のように2倍角の公式のsin2αが証明できました。cos2α、tan2αの証明は下記をご覧ください。

2倍角の公式の証明方法は?3分でわかる証明、問題の解き方

まとめ

今回は2倍角の公式について説明しました。2倍角の公式とは、加法定理においてβ=αのときの等式です。sin2α=2sinαcosαなどがあります。まずは加法定理を理解しましょう。加法定理、2倍角の公式の証明は下記が参考になります。

三角関数の加法定理とは?3分でわかる意味、公式、応用と二倍角の公式

2倍角の公式の証明方法は?3分でわかる証明、問題の解き方

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