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2倍角の公式の証明方法は?3分でわかる証明、問題の解き方

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2倍角の公式(にばいかくのこうしき)とはsin2α=2sinαcosαのような三角関数の等式です。2倍角の公式は加法定理(かほうていり)の公式について「β=α」とすれば導けます。簡単に証明できるので是非解いてみましょう。今回は2倍角の公式の証明方法、問題の解き方について説明します。2倍角の公式、加法定理の詳細は下記が参考になります。

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2倍角の公式の証明方法は?

2倍角の公式(にばいかくのこうしき)を下記に示します。


2倍角の公式の証明方法

上式は加法定理の公式をβ=αとすることで導けます。なお2倍角の公式、加法定理の詳細は下記が参考になります。

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実際に2倍角の公式を証明しましょう。加法定理を下記に示します。


2倍角の公式の証明方法2


sin~tanの公式を順番に証明します。上式について「α+β」における「β=α」の場合を考えます。β=αのときα+β=α+α=2α(2倍角)となります。


2倍角の公式の証明方法3


上記の通りsinに関する2倍角の公式を導けました。次にcosに関する式を導きます。前述と同様にcos(α+β)の場合を考えます。なお複合同順なので右辺の符号は-が付きます。


2倍角の公式の証明方法4


最後にtanに関する2倍角の公式を導きます。右辺は?があるので複合同順を意識して符号を考えましょう。


2倍角の公式の証明方法5


以上、加法定理の公式について「β=α」とすることで2倍角の公式が証明できました。代入すれば素直に公式を導けるはずです。ただし±、?の符号があるので複合同順に注意しましょう。

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2倍角の公式と問題の解き方

cosα=1/3のときcos2αを求めてください。まずはcosαからsinαを求めます。2倍角の公式より、


2倍角の公式の問題1


よって


2倍角の公式の問題2


となります。

まとめ

今回は2倍角の公式の証明について説明しました。2倍角の公式にはsin2α=2sinαcosαなどがあります。加法定理の公式が元になります。加法定理の公式についてβ=αとすれば、簡単に2倍角の公式を証明できるでしょう。下記も併せて勉強しましょう。

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