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sin^2θ+cos^2θ=1とは？3分でわかる意味、証明、変形、ピタゴラスの定理との関係

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sin2θ+cos2θ=1はピタゴラスの定理から簡単に証明できる三角関数の公式の１つです。角度θ、斜辺a、底辺b、高さcの直角三角形を考えます。ピタゴラスの定理より「a2=b2+c2」です。また、b=acosθ、c=asinθなので「a2= (acosθ)2+( asinθ)2=a2cos2θ+a2sin2θ」です。全ての項にa2が付いているので両辺をa2で除すと「sin2θ+cos2θ=1」になります。


今回は、sin2θ+cos2θ=1の意味、証明、変形した公式、ピタゴラスの定理との関係について説明します。sin、cosの関係は下記が参考になります。

sin60度の値は？1分でわかる意味、分数の値、cos30、cos45の値

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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sin2θ+cos2θ=1とは？意味と証明、ピタゴラスの定理の関係

sin2θ+cos2θ=1は三角関数の公式の１つです。余弦定理の証明などに用います。また「sin2θ+cos2θ=1」の公式はピタゴラスの定理を用いて簡単に証明できます。


ピタゴラスの定理とは？1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い


下図をみてください。斜辺がa、底辺がb、高さがc、aとｂのなす角度がθの直角三角形があります。


sin^2θ+cos^2θ=1の証明1


ピタゴラスの定理より、


sin^2θ+cos^2θ=1の証明2


です。また、三角比の関係より、


sin^2θ+cos^2θ=1の証明3


なので、それぞれ「b=、c=」の形に変形します。


sin^2θ+cos^2θ=1の証明4


上記をピタゴラスの定理に代入します。


sin^2θ+cos^2θ=1の証明5


上式の両辺をa2で割り算すると、


sin^2θ+cos^2θ=1の証明6


ですね。三角比、sin、cosの詳細は下記が参考になります。

三角比の定義は？１分でわかる定義、覚え方、表、直角三角形と単位円との関係

sin45度の値は？1分でわかる分数の値、求め方、cos45との違い、2分のルート2の関係

cos30度の値は？1分でわかる分数、小数の値、求め方、cos45度、sin60度の値


また、sin2θ+cos2θ=1の定理を用いて余弦定理を証明できます。余弦定理の詳細は下記をご覧ください。

余弦定理とは？【近日公開予定】

sin2θ+cos2θ=1と変形して求める公式

さらに、sin2θ+cos2θ=1を変形して、別の公式を導きます。sin2θ+cos2θ=1の両辺を「cos2θ」で割ります。


sin^2θ+cos^2θ=1と変形して求める公式1


sinθ/cosθ＝tanθなので、


sin^2θ+cos^2θ=1と変形して求める公式2


となります。上式も良く使う公式です。

まとめ

今回は、sin2θ+cos2θ=1について説明しました。sin2θ+cos2θ=1は、ピタゴラスの定理から簡単に導くことが可能です。直角三角形の辺の長さとsin、cos、tanとの関係、ピタゴラスの定理など下記も勉強しましょうね。

ピタゴラスの定理とは？1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い

sin45度の値は？1分でわかる分数の値、求め方、cos45との違い、2分のルート2の関係

cos30度の値は？1分でわかる分数、小数の値、求め方、cos45度、sin60度の値

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