sin^2θ+cos^2θ=1とは？3分でわかる意味、証明、変形、ピタゴラスの定理との関係
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sin2θ+cos2θ=1はピタゴラスの定理から簡単に証明できる三角関数の公式の１つです。角度θ、斜辺a、底辺b、高さcの直角三角形を考えます。ピタゴラスの定理より「a2=b2+c2」です。また、b=acosθ、c=asinθなので「a2= (acosθ)2+( asinθ)2=a2cos2θ+a2sin2θ」です。全ての項にa2が付いているので両辺をa2で除すと「sin2θ+cos2θ=1」になります。
今回は、sin2θ+cos2θ=1の意味、証明、変形した公式、ピタゴラスの定理との関係について説明します。sin、cosの関係は下記が参考になります。
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sin2θ+cos2θ=1とは？意味と証明、ピタゴラスの定理の関係
sin2θ+cos2θ=1は三角関数の公式の１つです。余弦定理の証明などに用います。また「sin2θ+cos2θ=1」の公式はピタゴラスの定理を用いて簡単に証明できます。
ピタゴラスの定理とは？1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い
下図をみてください。斜辺がa、底辺がb、高さがc、aとｂのなす角度がθの直角三角形があります。
ピタゴラスの定理より、
です。また、三角比の関係より、
なので、それぞれ「b=、c=」の形に変形します。
上記をピタゴラスの定理に代入します。
上式の両辺をa2で割り算すると、
ですね。三角比、sin、cosの詳細は下記が参考になります。
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また、sin2θ+cos2θ=1の定理を用いて余弦定理を証明できます。余弦定理の詳細は下記をご覧ください。
sin2θ+cos2θ=1と変形して求める公式
さらに、sin2θ+cos2θ=1を変形して、別の公式を導きます。sin2θ+cos2θ=1の両辺を「cos2θ」で割ります。
sinθ/cosθ＝tanθなので、
となります。上式も良く使う公式です。
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まとめ
今回は、sin2θ+cos2θ=1について説明しました。sin2θ+cos2θ=1は、ピタゴラスの定理から簡単に導くことが可能です。直角三角形の辺の長さとsin、cos、tanとの関係、ピタゴラスの定理など下記も勉強しましょうね。
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