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sin^2θ+cos^2θ=1とは？3分でわかる意味、証明、変形、ピタゴラスの定理との関係

sin²θ+cos²θ=1はピタゴラスの定理から簡単に証明できる三角関数の公式の１つです。角度θ、斜辺a、底辺b、高さcの直角三角形を考えます。ピタゴラスの定理より「a²=b²+c²」です。また、b=acosθ、c=asinθなので「a²= (acosθ)²+( asinθ)²=a²cos²θ+a²sin²θ」です。全ての項にa²が付いているので両辺をa²で除すと「sin²θ+cos²θ=1」になります。

今回は、sin²θ+cos²θ=1の意味、証明、変形した公式、ピタゴラスの定理との関係について説明します。sin、cosの関係は下記が参考になります。

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sin²θ+cos²θ=1とは？意味と証明、ピタゴラスの定理の関係

sin²θ+cos²θ=1は三角関数の公式の１つです。余弦定理の証明などに用います。また「sin²θ+cos²θ=1」の公式はピタゴラスの定理を用いて簡単に証明できます。

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下図をみてください。斜辺がa、底辺がb、高さがc、aとｂのなす角度がθの直角三角形があります。

ピタゴラスの定理より、

です。また、三角比の関係より、

なので、それぞれ「b=、c=」の形に変形します。

上記をピタゴラスの定理に代入します。

上式の両辺をa²で割り算すると、

ですね。三角比、sin、cosの詳細は下記が参考になります。

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また、sin²θ+cos²θ=1の定理を用いて余弦定理を証明できます。余弦定理の詳細は下記をご覧ください。

余弦定理とは？【近日公開予定】

sin²θ+cos²θ=1と変形して求める公式

さらに、sin²θ+cos²θ=1を変形して、別の公式を導きます。sin²θ+cos²θ=1の両辺を「cos²θ」で割ります。

sinθ/cosθ＝tanθなので、

となります。上式も良く使う公式です。

まとめ

今回は、sin²θ+cos²θ=1について説明しました。sin²θ+cos²θ=1は、ピタゴラスの定理から簡単に導くことが可能です。直角三角形の辺の長さとsin、cos、tanとの関係、ピタゴラスの定理など下記も勉強しましょうね。

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