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内角の和と三角形の関係は？1分でわかる和の値、証明、外角との関係

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内角の和とは、多角形の内角（隣り合う辺がなす多角形の内側の角）を合計した値です。三角形の内角の和は必ず180度になります。また内角の和が180度になる理由は、中学校で習う知識が十分証明できます。今回は内角の和と三角形の関係、和の値、証明、外角との関係について説明します。外角の意味、多角形の内角の和は下記が参考になります。

外角とは？1分でわかる意味、求め方、内角との違い、外角と内角の和

多角形の内角の和は？1分でわかる公式、問題の求め方、簡単な証明

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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内角の和と三角形の関係は？

内角の和とは、多角形の内角を合計した値です。下図をみてください。これが内角の和です。

内角の和

下図をみてください。形状の違う三角形が２つあります。角度が違うので内角の和も違いそうですが、実はあらゆる三角形の内角の和は180度になります。

内角の和と三角形

この性質を利用すれば下図のように、１つの内角が未知数であっても逆算できます。下図の内角Aの値を求めてみましょう。

内角の和と求め方

A以外の内角の和＝50+50＝100度です。よって、A=180－100＝80度です。また２つの内角が等しい、３つの内角が等しい三角形では、未知数が２つ以上でも求めることができます。


下図の二等辺三角形の頂角を40度とします。内角をAとします。２つの内角は等しいですから、


2A+40=180

2A=140

A＝70度


です。

内角の和の値と証明

前述したように三角形の内角の和＝180度になります。これは、あらゆる三角形で成立します。下図をみてください。任意の角度をもつ三角形があります。３つの角度をA、B、Cとします。

内角の和の証明

辺ABと平行となる線分をCから引きます。次に、ACの線分を延長します。

内角の和の証明２

辺CC'、CA'がなす角度をA'、辺CA'とBCのなす角度をB'とします。このとき、


A=A'

B=B'


です。またC+A'+B'=180度になります。よって、


C+A'+B'=180度

A+B+C=180度


より三角形の内角の和が180度になると証明できました。

内角の和と外角の関係

前述の証明より、


外角（A'+B'）+隣り合う内角＝180度


です。上式を変形すれば、


外角＝隣り合わない内角の和


が導けます。外角の詳細は下記をご覧下さい。

外角とは？1分でわかる意味、求め方、内角との違い、外角と内角の和

まとめ

今回は内角の和について説明しました。三角形の内角の和が理解頂けたと思います。三角形の内角の和＝180度です。全ての三角形で成立します。簡単な計算で証明できるので、是非挑戦しましょう。外角との関係も理解してください。下記も参考になります。

外角とは？1分でわかる意味、求め方、内角との違い、外角と内角の和

多角形の内角の和は？1分でわかる公式、問題の求め方、簡単な証明

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