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多角形の内角の和は?1分でわかる公式、問題の求め方、簡単な証明

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多角形の内角の和の公式は180(n-2)°です。nは多角形の辺の数が入ります。三角形の場合n=3なので180(3-2)°=180°です。六角形はn=6ですから内角の和=180(6-2)°=720°です。考え方は簡単です。多角形を三角形に分解して考えます。四角形は2つの三角形に分解できます。1つの三角形の内角の和は180°ですから四角形の内角の和=180×2=360°です。今回は多角形の内角の和、公式、問題の求め方、簡単な証明について説明します。三角形の内角の和は下記が参考になります。

内角の和と三角形の関係は?1分でわかる和の値、証明、外角との関係

外角とは?1分でわかる意味、求め方、内角との違い、外角と内角の和

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多角形の内角の和は?

多角形の内角の和は、下記の公式で算定します。


多角形の内角の和=180×( n-2)


nは多角形の辺の数です。多角形のnの値を下記に示します。


三角形 ⇒ n=3

四角形 ⇒ n=4

五角形 ⇒ n=5

六角形 ⇒ n=6


つまり「〇角形」の〇部分がnに相当する値です。

多角形の内角の和と問題の求め方

十角形の内角の和を求めましょう。辺の数が分かれば上記の公式を使って簡単に解ける問題です。


n=10なので


多角形の内角の和=180× n-2=180× 8=1440°

内角の和と三角形の関係は?1分でわかる和の値、証明、外角との関係

多角形の内角の和と簡単な証明

多角形の内角の和がなぜ180(n-2)°で算定できるか解説します。下図の四角形を三角形に分解します。どのように分解しても良いです。


図 多角形の内角の和と証明


2通りの分解の仕方があると思いますが、いずれにしても三角形は2つになります。1つの三角形の内角の和は180°です。三角形の内角の和は下記をご覧ください。

内角の和と三角形の関係は?1分でわかる和の値、証明、外角との関係


つまり


四角形の内角の和=2つの三角形の内角の和=2×180=360°


です。辺の数が4に対して2個の三角形ができました。次に五角形を三角形に分解します。すると3つの三角形ができます。辺の数5に対して3つの三角形です。よって


多角形を分解してできる三角形の数=辺の数-2


です。辺の数をn、三角形の数をTとすれば


T=n-2


となります。上記の180度をかければ多角形の和になります。

内角の和と三角形の関係は?1分でわかる和の値、証明、外角との関係

まとめ

今回は多角形の内角の和について説明しました。多角形の内角の和=180(n-2)で算定できます。簡単な計算式ですね。考え方も簡単です。多角形を三角形に分解しましょう。三角形の内角の和=180°なので、多角形の内角の和=三角形の数×180°です。三角形の内角の和は下記をご覧ください。

内角の和と三角形の関係は?1分でわかる和の値、証明、外角との関係

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