多角形の内角の和は？1分でわかる公式、問題の求め方、簡単な証明

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多角形の内角の和の公式は180(n－2)°です。nは多角形の辺の数が入ります。三角形の場合ｎ＝3なので180(3－2)°＝180°です。六角形はn=6ですから内角の和＝180(6－2)°＝720°です。考え方は簡単です。多角形を三角形に分解して考えます。四角形は２つの三角形に分解できます。１つの三角形の内角の和は180°ですから四角形の内角の和＝180×2＝360°です。今回は多角形の内角の和、公式、問題の求め方、簡単な証明について説明します。三角形の内角の和は下記が参考になります。

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学改訂版/工学社」

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多角形の内角の和は？

多角形の内角の和は、下記の公式で算定します。

多角形の内角の和＝180×（ n－2）

nは多角形の辺の数です。多角形のnの値を下記に示します。

三角形　⇒　n=3

四角形　⇒　n=4

五角形　⇒　n=5

六角形　⇒　n=6

つまり「〇角形」の〇部分がｎに相当する値です。下記も参考になります。

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多角形の内角の和と問題の求め方

十角形の内角の和を求めましょう。辺の数が分かれば上記の公式を使って簡単に解ける問題です。

n=10なので

多角形の内角の和=180× n－2=180× 8=1440°

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多角形の内角の和と簡単な証明

多角形の内角の和がなぜ180(n－2)°で算定できるか解説します。下図の四角形を三角形に分解します。どのように分解しても良いです。

図　多角形の内角の和と証明

2通りの分解の仕方があると思いますが、いずれにしても三角形は２つになります。１つの三角形の内角の和は180°です。三角形の内角の和は下記をご覧ください。

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つまり

四角形の内角の和＝２つの三角形の内角の和＝2×180＝360°

です。辺の数が4に対して2個の三角形ができました。次に五角形を三角形に分解します。すると３つの三角形ができます。辺の数5に対して3つの三角形です。よって

多角形を分解してできる三角形の数＝辺の数－2

です。辺の数をｎ、三角形の数をTとすれば

T＝ｎ－2

となります。上記の180度をかければ多角形の和になります。

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まとめ

今回は多角形の内角の和について説明しました。多角形の内角の和＝180(n－2)で算定できます。簡単な計算式ですね。考え方も簡単です。多角形を三角形に分解しましょう。三角形の内角の和＝180°なので、多角形の内角の和＝三角形の数×180°です。三角形の内角の和、正5角形、正6角形の角度は下記をご覧ください。

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