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2次方程式の判別式とは？1分でわかる意味、d/4、k、虚数解との関係

2次方程式ax²+bx+c=0の判別式は、解が「異なる実数解」「異なる虚数解」「１つの実数解」のどれに該当するか判別できる式です。解の公式の根号の中の値を判別式といい、D=b²－4acを計算します。今回は2次方程式の判別式の意味、d/4の使い方、kを求める問題、虚数解との関係について説明します。2次方程式の解き方、解の公式は下記が参考になります。

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2次方程式の判別式とは？

2次方程式ax²+bx+c=0の判別式は下記に示す式です。

D＝b²－4ac

判別式は下式（2次方程式の解の方程式）の、b²－4acです。

D＝b²－4acとして、解の公式を下記のように表せます。

2次方程式の解の方程式は下記が参考になります。

2次方程式の解の公式とは？1分でわかる意味、覚え方、公式の導出、問題の解き方

2次方程式の判別式は、解の性質を判別できる式です。Dの値が正、負、0の場合で、解は下記のいずれかに該当します。

・D＞0のとき　異なる２つの実数解をもつ

・D＜0のとき　異なる２つの虚数解をもつ

・D＝0のとき　ただ１つの実数解をもつ

D＞0のとき解は異なる２つの実数です。実数の意味は下記が参考になります。

実数とは？1分でわかる意味、定義、0、分数、小数、虚数との関係

D＜0のとき解は異なる２つの虚数です。虚数とは２乗して負になる数です。D=0のとき解は、１つの実数になります。

なお、2次方程式の解き方は色々あります。下記が参考になります。

2次方程式とは？1分でわかる意味、解き方、解の公式、因数分解との関係

2次方程式の判別式とd/4の使い方

2次方程式の判別式は解を求める式ではなく、「解の性質を判別する」式です。Dに数を掛けたり、割ったりしても解の性質に影響は無いです。これを利用して、Dを計算しやすいようにD/4とすることもあります。

bが偶数（2、4など）の場合、判別式の計算が楽になります。

2次方程式の判別式を用いてkを求める問題

判別式を用いて、解が重解（じゅうかい）になるような定数（a、ｂ、c）を設定することが可能です。下式をみてください。定数にkが含まれています。解が重解になるようにkを設定しましょう。

a＝1、b＝ｋ+1、c＝ｋ+1です。重解のときD＝0になるため、

上記のｋの2次方程式を解けば、重解となる定数が分かります。上記は因数分解できるので、

です。元の２次方程式にｋを代入して、bとcの定数を求めます。

k＝3のとき

ｂ＝3+1＝4、ｃ＝4です。

k＝－1のとき

ｂ＝－1+1＝0、ｃ＝0です。

ｂ＝4、ｃ＝4のときの重解を求めます。

2次方程式の判別式と虚数解

2次方程式の判別式Dが0より小さいとき虚数解になります。虚数（きょすう）とは２乗して負になる数です。虚数の逆が実数です。詳細は下記が参考になります。

実数とは？1分でわかる意味、定義、0、分数、小数、虚数との関係

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まとめ

今回は2次方程式の判別式について説明しました。意味や使い方が理解頂けたと思います。判別式を計算すれば、2次方程式の解の性質がわかります。解の公式も併せて理解しましょう。下記が参考になります。

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• 「わかる構造力学(改訂版)」


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