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2次方程式の判別式とは?1分でわかる意味、d/4、k、虚数解との関係

2次方程式ax2+bx+c=0の判別式は、解が「異なる実数解」「異なる虚数解」「1つの実数解」のどれに該当するか判別できる式です。解の公式の根号の中の値を判別式といい、D=b2−4acを計算します。今回は2次方程式の判別式の意味、d/4の使い方、kを求める問題、虚数解との関係について説明します。2次方程式の解き方、解の公式は下記が参考になります。

2次方程式とは?1分でわかる意味、解き方、解の公式、因数分解との関係

2次方程式の解の公式とは?1分でわかる意味、覚え方、公式の導出、問題の解き方

2次方程式の判別式とは?

2次方程式ax2+bx+c=0の判別式は下記に示す式です。


D=b2−4ac


判別式は下式(2次方程式の解の方程式)の、b2−4acです。


2次方程式の判別式1


D=b2−4acとして、解の公式を下記のように表せます。


2次方程式の判別式2


2次方程式の解の方程式は下記が参考になります。

2次方程式の解の公式とは?1分でわかる意味、覚え方、公式の導出、問題の解き方


2次方程式の判別式は、解の性質を判別できる式です。Dの値が正、負、0の場合で、解は下記のいずれかに該当します。


・D>0のとき 異なる2つの実数解をもつ

・D<0のとき 異なる2つの虚数解をもつ

・D=0のとき ただ1つの実数解をもつ


D>0のとき解は異なる2つの実数です。実数の意味は下記が参考になります。

実数とは?1分でわかる意味、定義、0、分数、小数、虚数との関係


D<0のとき解は異なる2つの虚数です。虚数とは2乗して負になる数です。D=0のとき解は、1つの実数になります。


なお、2次方程式の解き方は色々あります。下記が参考になります。

2次方程式とは?1分でわかる意味、解き方、解の公式、因数分解との関係

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2次方程式の判別式とd/4の使い方

2次方程式の判別式は解を求める式ではなく、「解の性質を判別する」式です。Dに数を掛けたり、割ったりしても解の性質に影響は無いです。これを利用して、Dを計算しやすいようにD/4とすることもあります。


2次方程式の判別式3


bが偶数(2、4など)の場合、判別式の計算が楽になります。

2次方程式の判別式を用いてkを求める問題

判別式を用いて、解が重解(じゅうかい)になるような定数(a、b、c)を設定することが可能です。下式をみてください。定数にkが含まれています。解が重解になるようにkを設定しましょう。


2次方程式の判別式4


a=1、b=k+1、c=k+1です。重解のときD=0になるため、


2次方程式の判別式5


上記のkの2次方程式を解けば、重解となる定数が分かります。上記は因数分解できるので、


2次方程式の判別式6


です。元の2次方程式にkを代入して、bとcの定数を求めます。


k=3のとき

b=3+1=4、c=4です。


k=−1のとき

b=−1+1=0、c=0です。


b=4、c=4のときの重解を求めます。


2次方程式の判別式7

2次方程式の判別式と虚数解

2次方程式の判別式Dが0より小さいとき虚数解になります。虚数(きょすう)とは2乗して負になる数です。虚数の逆が実数です。詳細は下記が参考になります。

実数とは?1分でわかる意味、定義、0、分数、小数、虚数との関係

まとめ

今回は2次方程式の判別式について説明しました。意味や使い方が理解頂けたと思います。判別式を計算すれば、2次方程式の解の性質がわかります。解の公式も併せて理解しましょう。下記が参考になります。

2次方程式とは?1分でわかる意味、解き方、解の公式、因数分解との関係

2次方程式の解の公式とは?1分でわかる意味、覚え方、公式の導出、問題の解き方

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