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連立方程式と解の比の関係は？1分でわかる意味、例題の求め方は？

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連立方程式の解の比が既知のとき、方程式の1つの係数を算定できます。例えば「ax+2y=1、3x-y=5」の解の比が「x:y=1:2」のとき係数aの値を求めます。解の比は「x:y=1:2　⇒　2x=y」のように変形できます。３つの未知数a、x、yに対して３つの方程式があるので、解が算定できます。今回は、連立方程式と解の比の関係、意味、例題の求め方について説明します。連立方程式、比率の詳細は下記が参考になります。

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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連立方程式と解の比の関係は？意味

連立方程式の解の比が既知のとき、方程式の１つの係数が未知数でも算定可能です。下記の連立方程式をみてください。


連立方程式と解の比の関係1


xの係数aは未知数です。上記の解の比は「x:y=1:2」とします。比率は「外側の値の積と内側の値の積が等しく」なります。よって、


連立方程式と解の比の関係2


です。3つの未知数a、x、yに対して３つの方程式があるので、各未知数の解を算定できます。※連立方程式、比率の詳細は下記が参考になります。

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上記の連立方程式を解きましょう。2x=yを「3x-y=5」に代入すると、


連立方程式と解の比の関係3


です。次に、3x-y=5にx=5を代入すると、


連立方程式と解の比の関係4


です。ax+2y=1にx、yの値を代入すればaの値が算定できますね。aの値は、


連立方程式と解の比の関係5


ですね。なお、上記のように「x=、y=」に変形し、代入して解を求める方法を「代入法」といいます。代入法の詳細は下記も参考になります。

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解の比が既知の連立方程式の例題の求め方

下記の連立方程式の解の比が「x:y＝3：4」のとき、bの値を求めましょう。解き方の流れは前述した通りです。


解の比が既知の連立方程式の例題1


まず、解の比を変形します。x:y＝3：4は「4x=3y」です。x=の形に直すと「x=3y/4」になります。x+8y=6に「x=3y/4」を代入すると、


解の比が既知の連立方程式の例題2


です。x+8y=6にyの値を代入すると、


解の比が既知の連立方程式の例題3


です。xとyの値を2x+by=4に代入してbの値を求めると、


解の比が既知の連立方程式の例題4


になります。

まとめ

今回は、連立方程式と解の比の関係について説明しました。連立方程式の解の比が既知の場合、方程式の１つの係数が未知数でも算定できます。３つの未知数に対して、３つの方程式があるからです。連立方程式の意味、解き方など下記も勉強しましょうね。

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