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二次元問題について

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ここでは、三次元で考えた応力歪関係、歪変位関係を二次元問題に縮退（次数を落とすこと）して考えてみましょう。


構造物を解析する際には、全て三次元でモデル化すると解析時間もかかることや、二次元で考えても問題ない場合があります。その際に、以下の考え方は有効です。


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平面歪状態

以下のような物体について考えてみます。


図の平面形状よりも遥かに奥行き方向の寸法が大きいとき｢平面ひずみ｣という2次元問題として扱うことが可能です。平面ひずみでは、平面の変形のみを考慮し、z方向の変位ベクトルは発生しないという状況を考えます。式で表すと、




なので、歪-変位の関係に定式を考えると



となります。


まず、三次元の等方弾性体における応力歪関係は次式で表されます。



z方向に関する変位ベクトルは発生しないという仮定をしているので、



となります。

平面応力状態

以下のような物体について考えてみます。


図の平面形状がよりも奥行き方向の寸法が小さいとき｢平面応力｣という2次元問題として扱うことが可能です。平面応力状態では、平面と直交方向の応力が平面応力よりも小さいので無視できるとします。式で表すと、




となります。


まず、三次元の等方弾性体における応力歪関係は次式で表されます。



上式を歪について計算し直すと、



となります。平面応力状態の条件式を代入すると、



ですから、連立方程式よりσxとσyを求めると、



となります。また、せん断応力は平面にのみ生じるので、



ですね。

まとめ

今回は、2次元問題の解析を行うときに有効な2つの概念について説明しました。

建築では主に、床や壁等の平面寸法が厚さよりも大きい場合の構造体が多いので、｢平面応力状態｣の問題を扱います。一方、土木では、トンネルなどの平面よりも奥行き方向のスパンが長い構造物があるため、平面ひずみを仮定して問題を解く場合があります。

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