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連続梁の計算

構造設計の実務をやっていると「連続梁」が結構多いことに気がつきます。感覚的に想像できると思いますが、単純梁よりも連続梁の方が支点が多いため、その分、変形量が少ないですし応力も小さくなります。よって、単純梁よりも連続梁とした方が構造的に有利なため、意図的に連続梁とするのです。



連続梁の反力を求める

連続梁は略して連梁(れんりょう)とよく言います。このページでは、連続梁の計算方法を学び単純梁とどれくらい応力や変形が違うのか確認してみましょう。


以上のような連続梁はいわゆる「不静定構造」です。よって、単純な力のつり合いでは反力を求めることができません。このような不静定構造を解く場合は「たわみ角法」や仮想仕事の原理等、様々な手法があります。ただ、実際はこのような難しい手法を使って反力や応力を求めることは少ないです。


※仮想仕事の原理、たわみ角法、固定モーメント法の詳細な説明、計算方法は下記の記事が参考になります。

そこで、一番実務的で簡単に不静定構造を解く方法が「重ね合わせの原理」を用いた方法です。


上図のような2スパンの連続梁があります。力のつり合いだけでは解けません。よって、重ね合わせの原理を用います。

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上図のモデルは2つの場合分けができないでしょうか?まず「A支点を解除した場合」と「A支点に上向きの鉛直力(反力)が生じている場合」の2つです。さらに、それぞれの場合におけるA点のたわみを求めます。この2つの撓みは必ずゼロとなることから、A点の反力を求めます。

さて、まずAの支点を解除すると、


A-C間でたわみが生じます。その撓み量は片持ち梁のたわみとなるため、

δ=wL^4/8EI

となります。次に、本当はA点は支点であるため、A点には鉛直反力が生じています。よって、下図のような状態を考えます。


このときのたわみは、

δ=PL^3/3EI

となります。Aは本来、支点となる位置であるため、変形は0となります。よって、

wL^4/8EI=wL^3/3EI

wL/8=P/3

P= 3wL/8

となります。

以上のように、仮想仕事の原理や撓み角法を使えばかなり時間がかかる誘導も、境界条件を整理して重ね合わせの原理を用いることで簡単に解くことができました。


2スパンの連続梁の反力はRa=3wL/8となります。また、左右対称のモデルであるため、Rb=3wL/8となります。さらに、中央の反力Rc=2 wL −(2×3wL/8)= 5wL/4となります。


不静定梁の問題も、これまで習ってきた静定梁の理論で十分解ける問題ばかりです。難しい計算式を使って解くよりも、少し違う角度からみて簡単に問題を解いていきましょう!


まとめ

今回は不静定梁を簡単に解く方法を説明しました。前述したように、実務では仮想仕事の原理やたわみ角法など難しい計算は行いません。簡単に問題を溶ける方法を覚えておきましょう。※もちろん、たわみ角法や仮想仕事の原理も重要です。下記の記事を参考にしてください。

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