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集中荷重の作用する単純梁の解き方は？1分でわかる曲げモーメント、せん断力、たわみ、2点集中荷重の計算は？

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集中荷重の作用する単純梁の反力はPa/L、Pb/L、曲げモーメントはPab/L、せん断力はPb/L、－Pa/Lです。

aは左支点から集中荷重の作用点までの距離、bは右支点から集中荷重の作用点までの距離、Lは単純梁のスパンです。

a、bは変数なので前述の公式により、任意の位置に作用する集中荷重による応力が算定できます。

今回は、集中荷重の作用する単純梁の解き方、曲げモーメント、せん断力、たわみ、2点集中荷重の計算について説明します。

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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集中荷重の作用する単純梁の解き方は？曲げモーメント、せん断力、たわみは？

集中荷重の作用する単純梁はもっとも基本的な梁の問題の１つです。

また、本問題はより難解な梁の問題やラーメン構造、トラス構造を解くための基礎となる部分なので、必ず理解しましょう。

集中荷重の作用する単純梁の反力、曲げモーメント、せん断力は下記の通りです。

・反力　⇒　Pa/L、Pb/L

・せん断力　⇒　Pb/L、－Pa/L

・曲げモーメント　⇒　Pab/L

それでは上記の反力、応力の公式を導出します。

上図より水平力は仮定した反力のみなので、

です。外力が作用していないので、当然、反力もありません。

次に、鉛直方向の力のつり合いを考えます。

ここが一番の難関ですね。モーメントのつり合いを考えます。A、B点はローラー支点、ピン支点なのでモーメントは生じません。

よって、A(B)点でのモーメントのつり合いはゼロになります。

A点における全てのモーメントを求めます。回転方向が時計回りの値を正とすると、梁中央に作用する力Pによるモーメントは

です。Ｂ支点には仮定した反力RBが上向きの力で作用します。RBはA点を軸に反時計回りの回転を起こすので

です。これらのモーメントの合計は0になるので

となります。

RA、RB共に正の値です。つまり、仮定した反力の方向が正しいことを意味します。仮に反力が負の値であれば、仮定した反力の向きと反対向きに反力が作用しています。

次に応力を求めます。基本的な考え方は反力の求め方と同じです。ただし応力は部材断面に生じる力なので、まずは部材を切断して作用する応力を仮定します。

切断する位置は支点から任意の点（x）としますが、荷重の作用点を境に応力が変化する可能性を考慮して切断します。

よって、点Aを原点とするとき「0からa」と「aからL」の任意の点xで切断します。

このとき切断面には正の向きの応力が作用すると仮定します。水平方向の荷重は無いので軸力は0です。

なお、点Bを原点として同様に切断してもよいです。その場合「0からb」と「bからL」の任意の点xで切断します。

梁を任意の点で切断しても応力と荷重、反力はつりあうので、ΣH=0、ΣV=0、ΣM=0のつりあいを考えれば良いのです。

※水平力は無いのでΣH=0は省略します。「0からa」と「aからL」の区間と順番に計算します。

[0からaの区間]

本例題の反力はRA=Pb/L、RB=Pb/Lでした。よって、

です。次にモーメントのつりあいを考えます。点xでの曲げモーメントを求めたいので、点xが中心となるようモーメントを求めましょう。

となります。 aからLの区間も同様の手順で応力を求めます。

[aからLの区間]

です。

です。 以上より、せん断力は0からa区間まではPb/L（正のせん断力）が作用し、aからL区間では－Pa/L（負のせん断力）となります。

また曲げモーメントは支点では0となり、x=aのとき最大値になります。単純梁の反力、曲げモーメントの詳細は下記も参考になります。

単純梁の反力は？1分でわかる求め方、公式と計算、等分布荷重との関係

単純梁の曲げモーメントは？1分でわかる求め方（計算）、公式、等分布荷重と集中荷重との関係

単純梁のたわみの公式は下式が参考になります。

単純梁のたわみは？1分でわかる求め方、公式、計算と例題

2点集中荷重の作用する単純梁の計算は？

2点集中荷重の作用する単純梁の反力を求めましょう。基本的な考え方は変わりません。集中荷重が１つ増えただけです。

2点集中荷重の作用する単純梁の計算は下記も参考になります。

2点集中荷重が作用する単純梁とは？1分でわかる意味、公式、たわみ、曲げモーメント

まとめ

今回は、集中荷重の作用する単純梁について説明しました。集中荷重の作用する単純梁はもっとも基本的な梁の問題の１つです。

本問題の考え方（梁の力のつり合い）はラーメン構造、トラス構造でも使うのでぜひ理解しましょうね。

応力の公式は？1分でわかる公式一覧、曲げ応力、せん断応力、単位

単純梁のたわみは？1分でわかる求め方、公式、計算と例題

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