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集中荷重が作用する単純梁の曲げモーメント・せん断力・たわみの計算法

この記事の要点

構造設計の仕事を始めたころ、梁の計算で一番よく使ったのが「集中荷重+単純梁」の組み合わせだった。

反力を求め、BMD・SFDを描き、最大たわみを確認するという流れは何百回と繰り返した。

中央集中の場合と2点荷重の場合で公式が変わる点が最初の混乱ポイントだ。

本記事ではその両方を整理する。

力のつり合いから反力を求め、任意断面のせん断力図（SFD）・曲げモーメント図（BMD）を描く手順が構造力学の基本であり、ラーメン・トラス解析にも共通する。

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集中荷重の作用する単純梁の反力はPa/L、Pb/L、曲げモーメントはPab/L、せん断力はPb/L、－Pa/Lです。

aは左支点から集中荷重の作用点までの距離、bは右支点から集中荷重の作用点までの距離、Lは単純梁のスパンです。

a、bは変数なので前述の公式により、任意の位置に作用する集中荷重による応力が算定できます。

今回は、集中荷重の作用する単純梁の解き方、曲げモーメント、せん断力、たわみ、2点集中荷重の計算について説明します。

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集中荷重の作用する単純梁の解き方は？曲げモーメント、せん断力、たわみは？

集中荷重の作用する単純梁はもっとも基本的な梁の問題の１つです。

また、本問題はより難解な梁の問題やラーメン構造、トラス構造を解くための基礎となる部分なので、必ず理解しましょう。

集中荷重の作用する単純梁の反力、曲げモーメント、せん断力は下記の通りです。

・反力　⇒　Pa/L、Pb/L

・せん断力　⇒　Pb/L、－Pa/L

・曲げモーメント　⇒　Pab/L

それでは上記の反力、応力の公式を導出します。

集中荷重の作用する単純梁1

上図より水平力は仮定した反力のみなので、

集中荷重の作用する単純梁2

です。外力が作用していないので、当然、反力もありません。

次に、鉛直方向の力のつり合いを考えます。

集中荷重の作用する単純梁3

ここが一番の難関ですね。モーメントのつり合いを考えます。A、B点はローラー支点、ピン支点なのでモーメントは生じません。

よって、A(B)点でのモーメントのつり合いはゼロになります。

A点における全てのモーメントを求めます。回転方向が時計回りの値を正とすると、梁中央に作用する力Pによるモーメントは

です。Ｂ支点には仮定した反力RBが上向きの力で作用します。RBはA点を軸に反時計回りの回転を起こすので

です。これらのモーメントの合計は0になるので

集中荷重の作用する単純梁6

となります。

RA、RB共に正の値です。つまり、仮定した反力の方向が正しいことを意味します。仮に反力が負の値であれば、仮定した反力の向きと反対向きに反力が作用しています。

次に応力を求めます。基本的な考え方は反力の求め方と同じです。ただし応力は部材断面に生じる力なので、まずは部材を切断して作用する応力を仮定します。

切断する位置は支点から任意の点（x）としますが、荷重の作用点を境に応力が変化する可能性を考慮して切断します。

集中荷重の作用する単純梁7

よって、点Aを原点とするとき「0からa」と「aからL」の任意の点xで切断します。

このとき切断面には正の向きの応力が作用すると仮定します。水平方向の荷重は無いので軸力は0です。

集中荷重の作用する単純梁8

なお、点Bを原点として同様に切断してもよいです。その場合「0からb」と「bからL」の任意の点xで切断します。

梁を任意の点で切断しても応力と荷重、反力はつりあうので、ΣH=0、ΣV=0、ΣM=0のつりあいを考えれば良いのです。

※水平力は無いのでΣH=0は省略します。「0からa」と「aからL」の区間と順番に計算します。

[0からaの区間]

集中荷重の作用する単純梁9

本例題の反力はRA=Pb/L、RB=Pb/Lでした。よって、

集中荷重の作用する単純梁10

です。次にモーメントのつりあいを考えます。点xでの曲げモーメントを求めたいので、点xが中心となるようモーメントを求めましょう。

集中荷重の作用する単純梁11

となります。 aからLの区間も同様の手順で応力を求めます。

[aからLの区間]

集中荷重の作用する単純梁12

です。

集中荷重の作用する単純梁13

です。以上より、せん断力は0からa区間まではPb/L（正のせん断力）が作用し、aからL区間では－Pa/L（負のせん断力）となります。

また曲げモーメントは支点では0となり、x=aのとき最大値になります。単純梁の反力、曲げモーメントの詳細は下記も参考になります。

単純梁の反力の求め方と公式｜集中荷重・等分布荷重の計算例

単純梁の曲げモーメントは？1分でわかる求め方（計算）、公式、等分布荷重と集中荷重との関係

単純梁のたわみの公式は下式が参考になります。

単純梁のたわみは？1分でわかる求め方、公式、計算と例題

2点集中荷重の作用する単純梁の計算は？

2点集中荷重の作用する単純梁の反力を求めましょう。基本的な考え方は変わりません。集中荷重が１つ増えただけです。

2点集中荷重の作用する単純梁1

2点集中荷重の作用する単純梁2

2点集中荷重の作用する単純梁の計算は下記も参考になります。

2点集中荷重が作用する単純梁とは？1分でわかる意味、公式、たわみ、曲げモーメント

混同しやすい用語

集中荷重

梁の特定の1点（または数点）に集中して作用する荷重で、記号Pで表す。

柱・束などから伝達される荷重が代表例。

等分布荷重に対して、集中荷重は点荷重であり、最大曲げモーメントが「PL/4」（単純梁中央）のように比較的シンプルな式で表される。

等分布荷重

梁の全長または一部に均等に分布して作用する荷重で、単位長さあたりの力（N/m）として表す。

床・壁の自重が代表例。

集中荷重に対して、等分布荷重の最大曲げモーメントは「wL2/8」（単純梁）で表され、スパンの2乗に比例するため長スパムで特に注意が必要。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では単純梁の集中荷重・等分布荷重のBMD・SFDの形状と最大値の公式が頻出です。

「集中荷重→三角形BMD、等分布荷重→放物線BMD」と図形の形で覚えると、問題図を見た瞬間に解法方針が立てられます。

集中荷重の作用する単純梁を整理した表を示します。

応力・変形の種類	公式	備考
反力 RA・RB	RA = Pb/L、RB = Pa/L	a：左支点?荷重点距離、b：右支点?荷重点距離
最大曲げモーメント M	M = Pab/L（荷重点で最大）	中央集中の場合は M = PL/4
最大たわみ δ（中央集中）	δ = PL3/48EI	片持ち梁先端たわみ（PL3/3EI）の1/16