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2次関数の最大値は?3分でわかる求め方、定数aとの関係、最小値の求め方

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2次関数(にじかんすう)の最大値はy=ax2+bx+cの式をy=a(x-p)2+qの形に変形すると簡単に求めることができます。a<0のとき、2次関数y=a(x-p)2+qの最大値は「q」です。これはx=pの位置におけるyの値です。今回は2次関数の最大値の求め方、定数aとの関係、最小値の求め方について説明します。2次関数の意味、2次関数のグラフは下記が参考になります。

2次関数とは?1分でわかる意味、公式と計算、グラフ、平行移動との関係

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2次関数の最大値は?求め方

2次関数(にじかんすう)y=ax2+bx+cの最大値は、下式のように変形することで簡単に求められます。なお変形後の2次関数の形を「2次関数の標準形」といいます。


y=ax^2+bx+c ⇒ y=a(x-p)^2+q


a、b、c、p、qは定数、xは変数です。p、qは元の式を変換することで得られる定数です。x=pのときy=qになります。下図をみてください。x=pのとき2次関数の値は最大値または最小値をとります。


図 2次関数の最大値


a<0のとき2次関数は上に凸、a>0のとき2次関数は下に凸です。よってa>0のとき2次関数の頂点が最小値、a<0の場合に最大値となります。2次関数の詳細、グラフとの関係は下記が参考になります。

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下記の2次関数の最大値を求めてください。


2次関数の最大値は?求め方1


1問目から順番に解きます。1問目の2次関数は、既にy=a(x-p)2+qの形になっています。p=1のときy=qとなるので最大値は5です。


2問目の2次関数は、下記のように標準形にしましょう。


2次関数の最大値は?求め方2


標準形の2次関数を展開すると元の式に戻ることを確認してください。上式の通り最大値は6です。

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2次関数の最大値と定数aの関係

2次関数y=a(x-p)2+qは定数aが0より小さい又は大きいかでグラフが変わります。下図に2次関数のグラフを示します。


図 2次関数と定数a、グラフの関係


a>0のとき 2次関数の頂点は最小値

a<0のとき 2次関数の頂点は最大値


になることを覚えましょうね。

2次関数の最小値の求め方

2次関数の最小値は、最大値の求め方は変わりません。2次関数をx=pのときy=qとなるよう(標準形)に変形しましょう。2次関数の最小値は下記が参考になります。

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まとめ

今回は2次関数の最大値の求め方を説明しました。考え方はシンプルです。2次関数y=ax2+bx+cの式をy=a(x-p)2+qに変形したときのqの値が最大値です。定数aが0より小さい、大きいで「2次関数の頂点が最大又は最小」のどちらかになります。2次関数の意味、グラフなど下記も併せて勉強しましょう。

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