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集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁の計算｜重ね合わせの原理による解法

この記事の要点

実際の梁には集中荷重と等分布荷重が同時に作用することが多い。

それぞれを単独で計算して重ね合わせる手順を覚えておくと、複雑な荷重条件でも対応できる。

この記事では集中荷重と等分布荷重が同時作用する梁の曲げモーメント・せん断力の計算手順と重ね合わせの原理を解説する。

重ね合わせの原理が成立するのは線形弾性体（フックの法則が成立する範囲）の構造に限られ、建築構造計算の基本手法のひとつとなる。

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集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁の曲げモーメント、せん断力は、重ね合わせの原理を用いて計算します。

「重ね合わせの原理」と聞くと難しそうですが考え方は簡単です。

下図のように、集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁を「集中荷重のみ作用する梁」と「等分布荷重のみ作用する梁」に分解してそれぞれ曲げモーメント、せん断力を算定し、足し算すればいのです。

集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁の計算1

梁の真ん中に集中荷重が作用する場合の最大曲げモーメントは

集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁の計算2

です。

集中荷重の作用する梁の曲げモーメント1

等分布荷重が作用する梁の最大曲げモーメントは

等分布荷重が作用する梁の最大曲げモーメント

です。

等分布荷重の作用する梁の曲げモーメント2

よって、集中荷重と等分布荷重が同時に作用する場合の曲げモーメントの最大値は

集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁の計算

です。曲げモーメント図を描くと下図のようになります。

集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁の曲げモーメント図

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次にせん断力を算定します。せん断力の算定も重ね合わせの原理を利用します。まず、集中荷重の作用する梁のせん断力は

集中荷重の作用する梁のせん断力1

です。

集中荷重の作用する梁のせん断力2

次に、等分布荷重の作用する梁のせん断力は

等分布荷重の作用する梁のせん断力1

です。

等分布荷重の作用する梁のせん断力2

以上より、集中荷重と等分布荷重が同時に作用する場合のせん断力の最大値は

集中荷重と等分布荷重が同時に作用する場合のせん断力の最大値

です。せん断力図を描くと下図のようになります。

集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁のせん断力図

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以上より、例題として下図に示す集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁の曲げモーメント、せん断力の最大値を計算しましょう。

集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁の例題1

前述した公式に各値を代入すれば簡単に計算できますね。よって

集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁の例題2

になります。

混同しやすい用語

重ね合わせの原理

複数の荷重が同時に作用する場合、各荷重を個別に作用させたときの応力・変形を合計することで全体の応力・変形が求められる原理。

直接計算に対して、重ね合わせは複雑な荷重状態を単純なケースの組み合わせに分解できるため計算が容易になるが、線形弾性の範囲にのみ適用できる。

直接計算（統合計算）

複数の荷重が同時に作用する場合にそのままつり合い式を立てて応力を求める方法。

重ね合わせに対して、直接計算は荷重が少ない場合は簡単だが、荷重の種類が多いと式が複雑になり計算ミスが起きやすい。

集中荷重と等分布荷重が同時に作用する梁の計算を整理した表を示します。

項目	内容	備考
集中荷重の最大曲げモーメント	M=PL/4	スパン中央に集中荷重作用の場合
等分布荷重の最大曲げモーメント	M=wL2/8	全スパンに等分布荷重作用の場合
重ね合わせ後の最大値	PL/4 + wL2/8	線形弾性範囲でのみ適用可能