二乗和の平方根とは？1分でわかる意味、計算、使い方、三平方の定理との関係

この記事の要点

二乗和の平方根とは√(a²＋b²)の計算で、直角三角形の斜辺（合力のベクトル長さ）を求めるときに使う基本演算である。

構造計算では水平力と鉛直力の合力、または曲げモーメントの組み合わせ応力を求める際にこの計算が頻繁に登場する。

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二乗和の平方根は、複数の値をそれぞれ2乗して合計し、その平方根をとった値です。

「2乗した和（合計）」の「平方根（ルート）」を意味します。今回は二乗和の平方根の意味、計算、使い方、三平方の定理との関係について説明します。

※直角三角形の斜辺は、二乗和の平方根を使って計算可能です。下記も併せて参考にしてください。

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二乗和の平方根とは？

二乗和の平方根とは、複数の値をそれぞれ2乗して合計し、平方根をとった値です。用語を分解すると考えやすいです。

二乗和　⇒　2乗した値を足すこと（足すことを和という）

平方根　⇒　ルート計算のこと。√2＝1.41となる

直角三角形の斜辺を求めるとき、二乗和の平方根を使います。これをピタゴラスの定理といいます。詳細は下記が参考になります。

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二乗和の平方根の計算

二乗和の平方根を記号で表すと下記です。

c=a²+b²

d=√c

ｃの値が二乗和の平方根です。例えば、a＝1、b＝1とします。ｃは下記です。

ｃ＝√1+1＝√2＝1.41

a＝2、b＝5のとき、ｃは

2²+5²＝29

√29＝5.38

です。

二乗和の平方根の使い方、建築との関係

二乗和の平方根の使い方には、下記があります。

・直角三角形の斜辺の計算

・斜め荷重の算定

・鉛直荷重、水平荷重による検定比の両方を考慮した検定比の算定

斜め荷重は、下記が参考になります。

斜め荷重とは？1分でわかる意味、分解、計算、片持ち梁の応力

部材は鉛直荷重、水平荷重の両方が作用する場合があります。力は大きさと方向を持ちます。鉛直と水平の両方を考慮した大きさは、二乗和の平方根で算定します。

二乗和の平方根と三平方の定理の関係

二乗和の平方根は、三平方の定理と関係します。下式をみてください。

c=a²+b²

d=√c

両辺を2乗すると、

d²=a²+b²

です。ｄを斜辺、a、bを底辺、高さと考えれば、三平方の定理（ピタゴラスの定理）となります。三平方の定理の証明などは下記が参考になります。

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混同しやすい用語

二乗和の平方根 vs 平方根（単独）

平方根（√a）はある数aの2乗根で、a＝b²であればb＝√aと表す単純な演算である。

二乗和の平方根（√(a²＋b²)）は2つ以上の値をそれぞれ二乗して足し合わせてから平方根を取る演算で、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を基礎とする。

三平方の定理 vs 二乗和の平方根

三平方の定理（ピタゴラスの定理）は「直角三角形の斜辺の2乗＝他の2辺の2乗の和」という幾何学的な定理（c²＝a²＋b²）である。

二乗和の平方根はこの定理を「斜辺c＝√(a²＋b²)」という計算式の形で使う方法で、合力や斜面距離を数値で求めるときに応用される。

試験での問われ方｜管理人の一言

試験では「水平力Qと鉛直力Nが作用するとき斜め方向の合力＝√(Q²＋N²)」という形で計算問題として出題される。

二乗和の平方根の計算自体はシンプルなので、まず手を動かして計算に慣れておくことが重要である。

二乗和の平方根を整理した表を示します。

項目	内容	備考
公式	√(a²＋b²)	2つの値を2乗して合計し平方根をとる
三平方の定理との関係	d²＝a²＋b²（ピタゴラスの定理）	直角三角形の斜辺の算定に用いる
建築での主な用途	斜め荷重の算定・合力の計算	鉛直荷重と水平荷重の合成に応用