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部分分数とは?1分でわかる意味、分解の計算(やり方)、恒等式との関係

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部分分数(ぶぶんぶんすう)とは、ある分数式を分解して、元の分数式の分母より小さい次数となる、分数式の和に変形することです。例えば「(a+b)/abを1/a+1/bに分解」したものが部分分数です。今回は部分分数の意味、分解の計算(やり方)、恒等式との関係について説明します。分数式の意味、計算は下記が参考になります。

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有理式とは?1分でわかる意味、例、計算、分数式との関係

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部分分数とは?

部分分数(ぶぶんぶんすう)とは、ある分数式を分解して、元の分数式の分母より小さい次数となる分数式の和に変形することです。言葉だとわかりにくいですが、下式をみればよくわかります。


\frac{a+b}{ab} ⇒ 1a+1b


上記に示す左の分数式を右側の分数式に変形することを「部分分数に分解する」といいます。分数式の意味、計算は下記が参考になります。

分数式とは?1分でわかる意味、約分、通分の計算、足し算の方法と問題


元の分数式の分母と、分解後の分数式の分母を見比べてください。分母の次数が小さくなっていますね。これが部分分数です。分数式の足し算の逆の計算ですね。分数式の足し算は下記が参考になります。

分数の足し算は?3分でわかる計算、問題、分母が同じ場合、通分の計算

部分分数に分解する計算(やり方)

下記の分数を、部分分数に分解するよう計算してください。


部分分数に分解する計算(やり方)1


まずは元の分数を分解して恒等式となるよう整理します。下記のように分解後の分数式の分子をa、bと置きました。恒等式であることを利用してa、bを求めれば良いです。


部分分数に分解する計算(やり方)2


上記の右辺を計算します。


部分分数に分解する計算(やり方)3


よって、


部分分数に分解する計算(やり方)4


です。上記は恒等式になるので分子、分母はそれぞれ等しいです。分子だけ取り出すと


部分分数に分解する計算(やり方)5


になります。さらに右辺をxと定数にまとめます。


部分分数に分解する計算(やり方)6


上記より


部分分数に分解する計算(やり方)7


あとは上記の未知数a、bを連立方程式で解きます。


部分分数に分解する計算(やり方)8


よって部分分数に分解した結果は下記となります。


部分分数に分解する計算(やり方)9

部分分数と恒等式の関係

下記の部分分数をみてください。部分分数は元の分数式を分解したものなので、形は変わっていますが元の分数式を等しいです。


部分分数と恒等式の関係 1


上記の関係は代入する値で変化することは無いです。よって部分分数と元の分数は、恒等式(こうとうしき)の関係です。恒等式の詳細は下記をご覧ください。

恒等式とは?1分でわかる意味、読み方、方程式との違い、見分け方

まとめ

今回は部分分数について説明しました。部分分数とは元の分数式を、元の分母の次数より小さないくつかの和に分解することです。今回解説した計算の流れを理解しましょう。解くためには連立方程式、恒等式が必要です。下記も併せて勉強しましょう。

連立方程式とは?1分でわかる意味、問題の解き方、加減法と代入法

恒等式とは?1分でわかる意味、読み方、方程式との違い、見分け方

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