マトリクス変位法（トラス）【3/3】

この記事の要点

マトリクス変位法（トラス編 3/3）では、求めた変位ベクトルから各部材の軸力・反力を逆算する後処理の手順を解説する。

部材ごとに{f}=[K]{u}を適用し、部材座標系に変換した変位から軸力を求める。計算結果の検証（全体の力の釣り合い）も行う。

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全体座標系のKマトリクス

部材座標系による剛性マトリクスを求めたら、それを全体座標系になおす必要があります。その図を示したものが以下となります。

座標変換に関しては、弾性力学の章で深く説明していますので、そちらを確認してください。結果として、ｚ軸まわりの座標変換マトリクスは、以下のように示されます。

この問題は平面で取り扱っているので、

となります。

以上より、部材座標系と全体座標系の関係を式にすると、外力および変位は

となりますね。以上の関係は節点２についても同様に成り立つので、纏めると

となります。以上が、部材座標系での外力及び変位と全体座標系での外力及び変位の関係です。上式を簡略化して書くと、

Qが座標変換マトリクスです。よって、全体座標系での外力及び変位は、

となります。｢－１｣が上添え字で付いているのは、逆行列で、｢T｣は転置行列という意味ですね。以上より、全体座標系の剛性マトリクスを計算すると、

ですから、

となります。実際に、このマトリクスの中身を計算してみると（ここでは省略しますよ…）、

となりました。

混同しやすい用語

部材軸力の算定

求めた節点変位{u}を部材座標系に変換し、部材剛性マトリクスを掛けて部材端力（軸力）を求める。

全体座標から部材座標への変換（[T]{u}）が必要。

支点反力の算定

全体剛性方程式[K]{u}={f}に求めた{u}を代入し、境界条件で省いていた行を含めて計算することで支点反力を求める。

引張軸力（正値）

部材を引き伸ばす方向の軸力。

マトリクス変位法では符号規則を統一して計算する必要があり、正の値が引張を意味することが多い。

圧縮軸力（負値）

部材を縮める方向の軸力。

負の値で表されることが多い。

計算後の符号を確認して引張・圧縮を判断する。

試験での問われ方｜管理人の一言

マトリクス変位法の後処理（変位から軸力・反力を求める）は計算ミスが起きやすいステップ。

座標変換の向きと符号規則を最初に決めてから計算を始めよう。

計算後は全体釣り合いで結果を検証する習慣をつけることが大切。