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材端力と部材力とは？定義・記号の違いと剛性方程式への応用（マトリックス解析）

この記事の要点

「部材力」は部材の断面に作用する内力（M・Q・N）を指しますが、「材端力」は部材の端部（節点）で部材が受ける力・モーメントのベクトルを指します。マトリックス構造解析では材端力ベクトルが剛性方程式の右辺を構成します。

このページでは材端力の定義・部材力との違い・剛性方程式での位置づけを解説します。

部材座標系と全体座標系の違いを理解し、座標変換によって統一することがマトリクス変位法の出発点。

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マトリクス変位法は部材の材端力を考え、剛性マトリクスを作成し作用する外力と境界条件を考慮し問題を解く方法です。

コンピューターによる計算技術の発展から、この方法が力を発揮するようになりました。

まず、マトリクス変位を勉強する前に、部材力と材端力の違いを明確にしておく必要があります。

部材力と材端力

さて、下図のような部材に作用する部材力を考えてみましょう。ここで、作用している軸力

NaとNbは、当たり前ですが次のような関係がありますね。

この軸力の符号に付いて着目すると、この軸力が作用する矢印の向きが、ティモシェンコが定義した部材力の正の値としています。

さらに、このような向きの力を部材力（例えば、せん断力や軸力、曲げモーメント）と呼んでいます。

私たちは、構造力学の基礎で意識せず、これを利用していたわけですが、実は定義されていたものだったんですね。

一方、下図に示すような、部材に作用している力を見てください。

このように、ある部材の端部から端部まで、（この場合はa端～b端まで）向かう方向に沿った力を材端力と呼びます。

さらに、部材軸の方向にx軸をとり、その直角する方向にy軸をとります。この座標を部材座標系と呼びます。

また、他の座標系と区別するために、x,yにそれぞれバーをつけて表します。

さて、部材座標系はそれぞれの部材に依存する座標系です。

よって、このまま使用しても部材ごとに位置・角度が違う場合等、材端力の値も相対的に異なってくるため、比較もできませんし意味がありません。

よって、空間に固定された部材位置に関係のない座標系を考えます。この座標系を全体座標系と呼びます。

よって、部材座標系は座標変換して全体座標系に統一する必要があるわけですね。

マトリクス変位法では、この材端力を用います。

なぜなら、材端力を用いれば、力の向きの位置関係が絶対的になりますし、

例えば、力が反対方向の向きであったとしても－の値がつくだけですので明確ですよね。

マトリクス変位法（トラス）【1/3】へ

混同しやすい用語

材端力

部材のa端からb端に向かう方向を基準とした部材座標系で定義される力（軸力・せん断力・モーメント）。

部材力がティモシェンコの定義による正の向きで表されるのに対して、材端力は部材の向きに依存した相対的な座標系で表される。

部材座標系

各部材の軸方向をx軸、それに直交する方向をy軸とした部材固有の座標系。x・yにバーをつけて表す。

全体座標系が空間に固定された唯一の座標系であるのに対して、部材座標系は部材ごとに位置・角度が異なる。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では材端力・部材力の定義の違いよりも、不静定構造の解法の流れが問われる傾向にある。

「部材座標系→座標変換→全体座標系」の流れをイメージしてからマトリクス変位法の計算に進むと理解が深まる。

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この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。

2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。

著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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プロフィール

略歴▼
名前　ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
2010年　弊サイトを開設
2010～2017年　国立大学大学院修了
2017年12月に当HPが書籍化。
「わかる構造力学」
2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
「わかる構造力学(改訂版)」

10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に向けて

「構造力学、構造計算、鋼構造、鉄筋コンクリート造、基礎構造、土質力学、水理学、材料力学、数学の基礎」を分かりやすくお伝えします。

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