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マトリクス変位法(トラス)【1/3】

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この数十年でコンピューターの計算速度は格段に上がりました。昔は、入力を行って計算を終えるのに1日かかっていた計算機ですが、今では数分いや数十秒で答えが 出てきます。


コンピューターで、n次の不静定構造物が劇的に解けるようになった背景には数学的なテクニックも大きく関係しています。それがマトリクス変位法です。 手計算で行うと、ただ面倒なだけの計算なのですが、計算方法が機械的でマシンとの相性が良いのです。


ここではマトリクス変位法を勉強しますが、その前に『部材力と材端力の違い』を説明しました。まずは、これを読んでから次に進みましょう。


さて、部材力と材端力の違いがわかったところで、いよいよ変位法で最も重要となる、剛性マトリクスを求めてみましょう。

下図のように、部材が変形したとします。

よって、部材の変位は以下の式で表します。

また、材端力のつり合いは、

です。b点を基準にしてフックの法則を考えましょう。分からない人はリンクを参照してください。フックの法則から、力と変位の関係は

でした。よって、

ですね。さらに、材端力のつり合い関係から

です。

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として、マトリクス形式で書いてみましょう。まず、式を整理すると

ですので、

となります。この剛性kで構成されるマトリクスを剛性マトリクスと呼んでいます。今回、考えた部材は部材座標系と全体座標系が一致しているため、角度がありませんでした。


しかし、一般的には、部材に角度θが存在し、その傾きを考慮した方程式をたてる必要があります。さらに、x軸方向の自由度しか考慮していませんでしたので、もっと一般的な部材(角度が存在し、自由度2)に関して剛性マトリクスを求めてみましょう。それは、後述します。

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